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Resolver el ejemplo anterior utilizando 8 subintervalos P = 8, definiendo el tamaño
de cada subintervalo y el punto muestra de cada uno.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral
Lección 7: Área bajo la curva
Concepto Intuitivo:
Para hallar el área de una figura con ladosrectos, la geometría plana (estudiada
en matemática básica) permite calcular dichas áreas, por ejemplo rectángulos,
triángulos, paralelogramos, otros. Cuando la frontera de una figura es curva la
situación es de un análisis más profundo, ya que se requiere mayor trabajo
matemático. El gran matemático de la antigüedad ARQUIMEDES, propuso una
solución consistente en que al considerar unasucesión de polígonos inscritos que
aproximen la región curva, que puede ser más y más precisa, a medida que el
polígono aumenta el número de lados.
Cuando P tiende a infinito
( P ®¥ ), el área del polígono se
hace semejante a la del círculo.
Fig. No. 2 Polígonos inscritos.
Pero la genialidad de Arquímedes, también lo llevo a demostrar que con polígonos
circunscritos, se llegaba al mismoresultado.
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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral
Lección 8: Estimación por sumas finitas.
Para determinar cómo se halla el área bajo la curva, utilizaremos el principio de los
polígonos inscritos y además una de las funciones más conocidas: f(x) = x2. El
proceso consiste enhallar el área de la región A ( R ) acotada por el intervalo [a,
b], para nuestro caso tomemos: [0, 2]
La partición P del intervalo [0, 2] en n subintervalos, cuya longitud Δx es:
n n n
x x
x n 2 0 2 D = - 0 = - = Partición
regular.
Comencemos:
X0 = 0
X1 = X0 + Δx = Δx
X2 = X1 + Δx = Δx + Δx = 2Δx
X3 = X2 + Δx = 2Δx + Δx = 3Δx
⋮
Xi = Xi-1 + Δx = (i – 1) Δx + Δx = iΔx
⋮
Xn-1 = (n-1) ΔxXn = nΔx Fig. No. 3 Partición.
Pero Δx = 2/n, entonces:
X0 = 0, X1 = 2/n, X2 = 4/n, … , Xi = 2i/n,
,… , Xn = n(2/n) = 2
El área de la región Ri es f(xi-1) Δx .
El área total de la región Rn será la suma de las áreas de todos los rectángulos
inscritos en la curva.
A R f x x f x x f x x n n = D + D + + D ( ) ( ) ( ) ( - ) 0 1 1
⋯
Para la función que estamos analizando tenemos:
2
3 3
2 22 2 8 8
*
2
( ) i
n
Resolver el ejemplo anterior utilizando 8 subintervalos P = 8, definiendo el tamaño
de cada subintervalo y el punto muestra de cada uno.
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Lección 7: Área bajo la curva
Concepto Intuitivo:
Para hallar el áreade una figura con lados rectos, la geometría plana (estudiada
en matemática básica) permite calcular dichas áreas, por ejemplo rectángulos,
triángulos, paralelogramos, otros. Cuando la frontera de una figura es curva la
situación es de un análisis más profundo, ya que se requiere mayor trabajo
matemático. El gran matemático de la antigüedad ARQUIMEDES, propuso una
solución consistente en queal considerar una sucesión de polígonos inscritos que
aproximen la región curva, que puede ser más y más precisa, a medida que el
polígono aumenta el número de lados.
Cuando P tiende a infinito
( P ®¥ ), el área del polígono se
hace semejante a la del círculo.
Fig. No. 2 Polígonos inscritos.
Pero la genialidad de Arquímedes, también lo llevo a demostrar que con polígonos
circunscritos, sellegaba al mismo resultado.
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Lección 8: Estimación por sumas finitas.
Para determinar cómo se halla el área bajo la curva, utilizaremos el principio de los
polígonos inscritos y además una de las funciones más conocidas: f(x) = x2....