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1. Investigar las propiedades de la derivada.

PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS
Las derivadas forman una parte importante del cálculo.
Hablando en términos sencillos, la derivada es una medida de la tasa de variación de la salida de una función así como varía la entrada de la función.
En base a la definición anterior está claro que la salida de la función es una función de la entrada de lafunción.
Las derivadas tienen algunas propiedades especiales que son importantes estudiar antes de saltar de lleno en el tema.
Puesto que estas propiedades resuelven los problemas de una manera mejor y más conveniente, con un mejor enfoque hacia el tema.
Algunas de las propiedades más importantes son las siguientes:
1. Si la función f(x): X → Y es diferenciable en un punto P, entonces se puedeconcluir que la función f(x) es continua en el punto p.
2. La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones tomadas individualmente. La misma regla aplica también para la resta de dos derivadas. Esta regla es más conocida por el nombre de la regla de la linealidad.

3. La derivada de la multiplicación de una cantidad escalar con una función es iguala cuando la cantidad escalar se multiplica a la derivada de la misma función.

4. La derivada de un número constante es siempre igual a cero.


5. La diferenciación de una variable con respecto a si misma producirá uno.

6. La derivada de la multiplicación de dos funciones es lo mismo que sumar la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicaciónde la segunda función con la derivada de la primera función. Esta regla se conoce más comúnmente con el nombre de la regla del producto.

7. La derivada de una variable elevada a una potencia es igual a las veces de la potencia de la derivada de la misma variable elevada a una potencia reducida por uno. Esta regla es mejor conocida por el nombre de la regla de la potencia. Es esencial que n seaun número real para que la propiedad anterior sea cierta.

8. La derivada de la división de una función con alguna otra función es lo mismo que la división de la resta de la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función con el cuadrado de la segunda función. Aquí el valor de la funciónno debería ser igual a cero. Esta regla se conoce por el nombre de la regla del cociente.

9. La regla de la cadena es una propiedad bastante compleja y se utiliza para funciones compuestas; es decir una función que es impuesta sobre cualquier otra función. De dos funciones diferenciables g(x) y f(x) que haya en una función compuesta h(x) se define como,
h(x) = g(f(x)) = (g 0 f)(x)
Para lafunción anterior h(x) la derivada puede ser calculada usando la regla de la cadena de la siguiente forma,

La Regla de la cadena sólo puede ser usada cuando existen dependencias en cadena en una función, en otras palabras, para funciones compuestas. Observe un ejemplo resuelto con la regla de la potencia,
d(5x4)/dx = 5[d(x4)/dx]
= 5(4x4−1)
= 5(4x3)
= 204x3
2. investigar las derivadas defunciones trigonométricas

DERIVADA DE LA FUNCIÓN SENO

A partir de la definición de la derivada de una función f(x):


Por tanto si f(x) = sin(x)


A partir de la identidad trigonométrica
 , se puede escribir


Agrupando los términos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser


Reordenando los términos y el límite se obtiene


Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, sepueden sacar fuera del límite para obtener

El valor de los límites


Son 1 y 0 respectivamente por la regla de l'Hôpital. Por tanto, si f(x) = sin(x),


DERIVADA DE LA FUNCIÓN COSENO

Si f(x) = cos(x)


A partir de la identidad

Trigonométrica, se puede escribir

Operando se obtiene:


Como sen(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener...