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PRACTICA 1
FUNDAMENTOS TEÓRICOS
Ajuste de Valores Experimentales mediante el Método de los Mínimos Cuadrados
Si hay n pares de mediciones (x1, y1), (x2, y2),... (xn, yn), y los errores están en su totalidad considerados en los valores de y (es decir, se conoce exactamente el valor de x), donde yi es exactamente igual a a*xi + b, el error en la medida será: Ei = yi – a*xi – b.
La mejor rectaserá aquella cuyos valores de a y b minimicen la suma de los errores para todas las mediciones, porque será aquella que en conjunto se desvíe menos del conjunto de datos en general. Sin embargo, esto tiene el problema de que algunos errores pueden ser positivos y otros negativos; si lo que se mira es la suma total, algunos se cancelarían entre sí, lo que no tiene sentido: para evitarlo lo que sehace es minimizar la suma de los cuadrados de los errores, que siempre será positiva.
Se tiene entonces para una TENDENCIA LINEAL:
Aplicando la condición de mínimo y resolviendo diversa ecuaciones se llega al siguiente resultado: X- =Xin ∙Y-Yin
Valor promedio
y el valor de y para cualquier x se puede determinar mediante la ecuación: y=a*X+b,donde:a=XiYi-XiÝX2i-Xi´X=ni=1nXi*Yi-i=1nXi*i=1nYi*n*i=1nXi2-i=1nXi2 ,,,,,,
Regresión Lineal o Linealización
Consiste en aproximar los valores obtenidos experimentalmente a una línea recta, donde la diferencia entre cada valor experimental y el aproximado sea el menor posible. y=a*X+b En general no existirán un a y un b, que logren que la recta por ellos definida pase por todos los puntos medidos, debido a los diferentes tipos de errorescometidos al medir.
Funciones No Lineales que se pueden Linealizar
El método de los mínimos cuadrados o de regresión es también aplicable a relaciones no lineales pero que pueden ser linealizadas con una adecuada elección de nuevas variables.
Función exponencial: y=c*ea*x
Tomando logaritmos naturales en ambos miembros y haciendo los cambios de variables: Y = Ln y b = Ln c X = x y a = aresulta:
Y = a*X + b
Linealización de gráficas de funciones exponenciales.
Adoptando como base el número de Euler (e) = 2,71828..., la ecuación exponencial queda expresada como: , donde como ya se había indicado , es decir la intersección de la gráfica con el eje “y” (x = 0) en el papel semi-logarítmico nos da directamente el valor de c, y el coeficiente de x viene dado por la pendiente de estalínea recta
a=m=lny2-lny1x2-x1.
Función potencial: y=c* xa
Tomando logaritmos decimales en ambos miembros de la igualdad, y haciendo los siguientes cambios de variables: Y = Log y ; b = Log c y X = Log x
Resulta: Y = a*X + b
Linealización de gráficas de funciones potenciales.
Las funciones polinómicas simples obedecen a la ecuación y=c* xa, donde como ya se había indicad b=logc,es decir la intersección de la gráfica con el eje “y”, es decir la intersección de la gráfica con el eje “y” (x = 0) en el papel bi-logarítmico nos da directamente el valor de c, y el exponente de x viene dado por la pendiente de esta línea recta.
a=m=logy2-logy1logx2-logx1

REPRESENTACIÓN DE DATOS EXPERIMENTALES
De los cambios de variables empleados para linealizar las funciones exponencial ypotencial se infiere la necesidad de representar gráficamente los valores experimentales tanto en sus valores directos como en sus logaritmos, decimales y o naturales, para ello se emplean escalas logarítmicas.
¿Qué es una escala logarítmica?
Representar puntos en una escala logarítmica es equivalente a representar los logaritmos de esos valores en una escala normal.
¿Cómo se dibujan puntos enuna escala logarítmica?
Se puede hacer de 2 maneras, dibujarlos a mano en un papel logarítmico o decirle al computador que lo haga. La primera opción, aunque pueda parecer prehistórica, en muchas ocasiones es absolutamente necesaria. Se vende papel semi-logarítmico y bilogarítmico en librerías especializadas.
¿Cómo Decidir que Tendencia Presentan los Datos?
Al graficar los datos sobre...