Ghj Algebra
Páginas: 5 (1196 palabras)
Publicado: 22 de enero de 2013
BASES Y DIMENSIONES
Profesores Omar Dar´ Saldarriaga Ort´ ıo ız Ivan Dar´ G´mez ıo o Hern´n Giraldo a
2009
Definiciones b´sicas y ejemplos a
Definici´n (CONJUNTOS GENERADORES) o Sea V un espacio vectorial, decimos que los vectores v1 , v2 , · · · , vk generan a V , si para todo v ∈ V existen escalares α1 , α2 , · · · , αk tal que v = α1 v1 + · · · + αk vk Tambi´n diremos que V esgenerado por los vectores {v1 , · · · , vk }, lo cual e denotaremos por V = v1 , · · · , vk . Al conjunto {v1 , · · · , vk } se le llama conjunto generador. Teorema Sean v1 , · · · , vk ∈ Rm y sea A = [v1 · · · vk ] la matriz cuyas columnas son los vectores v1 , · · · , vk . Entonces el conjunto {v1 , · · · , vk } es un conjunto generador si y solo si rango(A) = m =n´mero de filas de A. u
Definicionesb´sicas y ejemplos a
Definici´n (CONJUNTOS GENERADORES) o Sea V un espacio vectorial, decimos que los vectores v1 , v2 , · · · , vk generan a V , si para todo v ∈ V existen escalares α1 , α2 , · · · , αk tal que v = α1 v1 + · · · + αk vk Tambi´n diremos que V es generado por los vectores {v1 , · · · , vk }, lo cual e denotaremos por V = v1 , · · · , vk . Al conjunto {v1 , · · · , vk } se lellama conjunto generador. Teorema Sean v1 , · · · , vk ∈ Rm y sea A = [v1 · · · vk ] la matriz cuyas columnas son los vectores v1 , · · · , vk . Entonces el conjunto {v1 , · · · , vk } es un conjunto generador si y solo si rango(A) = m =n´mero de filas de A. u
Definiciones b´sicas y ejemplos a
Ejemplo Determine si el conjunto de vectores genera a R3 , 1 −2 0 −1 1 v1 = 2 , v2 = −4 , v3 = 1 , v4 = 0 5 −10 1 −3 1 −2 0 2 v1 = 2 , v2 = −4 , v3 = 1 5 −9 1 Corolario Sean v1 , · · · , vk vectores en Rm , si k < m entonces los vectores v1 , · · · , vk no generan a Rm .
Definiciones b´sicas y ejemplos a
Ejemplo Determine si el conjunto de vectores genera a R3 , 1 −2 0 −1 1 v1 = 2 , v2 = −4 , v3 = 1 , v4 = 0 5 −10 1 −3 1 −2 0 2 v1 = 2 , v2 = −4 , v3 = 1 5 −9 1 Corolario Sean v1 , · · · , vk vectores en Rm , si k < m entonces los vectores v1 , · · · , vk no generan a Rm . Corolario Un conjunto generador de Rm tiene al menos m vectores.
Definiciones b´sicas y ejemplos a
Ejemplo Determine si el conjunto de vectores genera a R3 , 1 −2 0 −1 1 v1 = 2 , v2 = −4 , v3 = 1 , v4 = 0 5 −10 1 −3 1 −2 0 2 v1 = 2 , v2 = −4 , v3 = 1 5 −9 1 Corolario Sean v1 , · · · , vk vectores en Rm , si k < m entonces los vectores v1 , · · · , vk no generan a Rm . Corolario Un conjunto generador de Rm tiene al menos m vectores.
Definiciones b´sicas y ejemplos aTeorema Si los vectores v1 , · · · , vm ∈ Rm son linealmente independientes, entonces Rm = v1 , · · · , vm . Definici´n (BASE) o Sea V un espacio vectorial y sean v1 , · · · , vn ∈ V , decimos que el conjunto {v1 , · · · , vn } es una base para V si
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Los vectores v1 , · · · , vn ∈ V son linealmente independientes. Los vectores v1 , · · · , vn ∈ V generan a V .
Definiciones b´sicas y ejemplos aTeorema Si los vectores v1 , · · · , vm ∈ Rm son linealmente independientes, entonces Rm = v1 , · · · , vm . Definici´n (BASE) o Sea V un espacio vectorial y sean v1 , · · · , vn ∈ V , decimos que el conjunto {v1 , · · · , vn } es una base para V si
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Los vectores v1 , · · · , vn ∈ V son linealmente independientes. Los vectores v1 , · · · , vn ∈ V generan a V .
Teorema
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Todabase de Rm tiene exactamente m vectores. Un conjunto de m vectores linealmente independientes de Rm es una base.
Definiciones b´sicas y ejemplos a
Teorema Si los vectores v1 , · · · , vm ∈ Rm son linealmente independientes, entonces Rm = v1 , · · · , vm . Definici´n (BASE) o Sea V un espacio vectorial y sean v1 , · · · , vn ∈ V , decimos que el conjunto {v1 , · · · , vn } es una base...
Profesores Omar Dar´ Saldarriaga Ort´ ıo ız Ivan Dar´ G´mez ıo o Hern´n Giraldo a
2009
Definiciones b´sicas y ejemplos a
Definici´n (CONJUNTOS GENERADORES) o Sea V un espacio vectorial, decimos que los vectores v1 , v2 , · · · , vk generan a V , si para todo v ∈ V existen escalares α1 , α2 , · · · , αk tal que v = α1 v1 + · · · + αk vk Tambi´n diremos que V esgenerado por los vectores {v1 , · · · , vk }, lo cual e denotaremos por V = v1 , · · · , vk . Al conjunto {v1 , · · · , vk } se le llama conjunto generador. Teorema Sean v1 , · · · , vk ∈ Rm y sea A = [v1 · · · vk ] la matriz cuyas columnas son los vectores v1 , · · · , vk . Entonces el conjunto {v1 , · · · , vk } es un conjunto generador si y solo si rango(A) = m =n´mero de filas de A. u
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Definici´n (CONJUNTOS GENERADORES) o Sea V un espacio vectorial, decimos que los vectores v1 , v2 , · · · , vk generan a V , si para todo v ∈ V existen escalares α1 , α2 , · · · , αk tal que v = α1 v1 + · · · + αk vk Tambi´n diremos que V es generado por los vectores {v1 , · · · , vk }, lo cual e denotaremos por V = v1 , · · · , vk . Al conjunto {v1 , · · · , vk } se lellama conjunto generador. Teorema Sean v1 , · · · , vk ∈ Rm y sea A = [v1 · · · vk ] la matriz cuyas columnas son los vectores v1 , · · · , vk . Entonces el conjunto {v1 , · · · , vk } es un conjunto generador si y solo si rango(A) = m =n´mero de filas de A. u
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Ejemplo Determine si el conjunto de vectores genera a R3 , 1 −2 0 −1 1 v1 = 2 , v2 = −4 , v3 = 1 , v4 = 0 5 −10 1 −3 1 −2 0 2 v1 = 2 , v2 = −4 , v3 = 1 5 −9 1 Corolario Sean v1 , · · · , vk vectores en Rm , si k < m entonces los vectores v1 , · · · , vk no generan a Rm .
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Ejemplo Determine si el conjunto de vectores genera a R3 , 1 −2 0 −1 1 v1 = 2 , v2 = −4 , v3 = 1 , v4 = 0 5 −10 1 −3 1 −2 0 2 v1 = 2 , v2 = −4 , v3 = 1 5 −9 1 Corolario Sean v1 , · · · , vk vectores en Rm , si k < m entonces los vectores v1 , · · · , vk no generan a Rm . Corolario Un conjunto generador de Rm tiene al menos m vectores.
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Ejemplo Determine si el conjunto de vectores genera a R3 , 1 −2 0 −1 1 v1 = 2 , v2 = −4 , v3 = 1 , v4 = 0 5 −10 1 −3 1 −2 0 2 v1 = 2 , v2 = −4 , v3 = 1 5 −9 1 Corolario Sean v1 , · · · , vk vectores en Rm , si k < m entonces los vectores v1 , · · · , vk no generan a Rm . Corolario Un conjunto generador de Rm tiene al menos m vectores.
Definiciones b´sicas y ejemplos aTeorema Si los vectores v1 , · · · , vm ∈ Rm son linealmente independientes, entonces Rm = v1 , · · · , vm . Definici´n (BASE) o Sea V un espacio vectorial y sean v1 , · · · , vn ∈ V , decimos que el conjunto {v1 , · · · , vn } es una base para V si
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Los vectores v1 , · · · , vn ∈ V son linealmente independientes. Los vectores v1 , · · · , vn ∈ V generan a V .
Definiciones b´sicas y ejemplos aTeorema Si los vectores v1 , · · · , vm ∈ Rm son linealmente independientes, entonces Rm = v1 , · · · , vm . Definici´n (BASE) o Sea V un espacio vectorial y sean v1 , · · · , vn ∈ V , decimos que el conjunto {v1 , · · · , vn } es una base para V si
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Los vectores v1 , · · · , vn ∈ V son linealmente independientes. Los vectores v1 , · · · , vn ∈ V generan a V .
Teorema
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Todabase de Rm tiene exactamente m vectores. Un conjunto de m vectores linealmente independientes de Rm es una base.
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Teorema Si los vectores v1 , · · · , vm ∈ Rm son linealmente independientes, entonces Rm = v1 , · · · , vm . Definici´n (BASE) o Sea V un espacio vectorial y sean v1 , · · · , vn ∈ V , decimos que el conjunto {v1 , · · · , vn } es una base...
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