Giufk

1-Derivades 1. En quins punts de la gràfica de la funció f ( x) =
1 la recta tangent és x perpendicular a la recta 4 x + y − 2 = 0 ?. Escriu les equacions d’aquestes rectes tangents

La recta 4 x + y − 2 = 0 té de pendent y = −4 x + 2 el valor − 4 . Una recta perpendicular 1 1 1 = . Hem de buscar els punts de la funció de derivada . té de pendent m = − M 4 4 1 La derivada de la funció és y ' =− 2 . Aquesta derivada sempre és negativa, mai pot x 1 donar un valor 4 1 1 y' = − 2 = ⇒ x 2 = −4 ⇒ x = − 4 que no existeix dins dels nombres Reals. 4 x 2. Dibuixa en un paper mil·limetrat la gràfica de la funció f ( x) = − x 2 + 8 x . Tot seguit, fes una estimació a partir d’aquesta gràfica dels valors de f ' (1) i f ' (5) . Calcula analíticament f ' (1) i f ' (5) i compara els resultats amb elsanteriors

La funció és una paràbola convexa que talla l’eix OX en els punts 0 i 8 En el punt x=1 la funció és creixent i té una derivada positiva En el punt x=5 la funció és decreixent i té una derivada negativa La derivada analítica de la funció és f ' ( x) = −2 x + 8 . Els valors en els punts demanats son f ' ( x = 1) = 6 i f ' ( x = 5) = −2 0 x < 0 3. Representa gràficament la funció f (x) =  . Aquesta funció és x x ≥ 0 contínua en x=0? I derivable?. Justifica les respostes

1

1-Derivades

En el punt x=0 la funció és contínua, ja que està definida f (0) = 0 i coincideix amb els límits laterals en aquest punt lim− f ( x) = lim 0 = 0 −
x→0 x →0 x→0 +

lim f ( x) = lim x = 0 +
x →0

La funció no és derivable en aquest punt. La derivada és 0 x < 0 f ' ( x) =  1 x ≥0 La derivada per l’esquerra és 0 i la derivada per la dreta és 1. No és derivable en x=0

4. Indica en quins punts és derivable la funció x x≠0  f ( x) =  x 0 x=0  Primer hem de veure si és contínua en el punt x=0 x x x x Quan x és positiu = = 1 , i quan x és negatiu = = −1 , d’on la funció no és x x x −x contínua a x=0, aleshores tampoc és derivable en aquest punt

5. La gràfica d’unafunció f(x) és la de la figura. Sense calcular-ne l’expressió analítica, representa gràficament la funció f’(x). 2

1-Derivades

Des de –1 fins 0 el pendent de f(x) és 2, el valor de la seva derivada. Des de 0 fins 2 el pendent és –1 i des de 2 fins 3 el pendent és 1. La derivada no és contínua en els punts x=0 i x=2 6. Troba les derivades laterals en x=5 de la funció f ( x) = 2 x − 10 . Ésderivable en aquest punt? La derivada per l’esquerra és –2 i la derivada per la dreta és +2. No és derivable en aquest punt

7. Indica els intervals de creixement i decreixement i els punts estacionaris de x2 la funció f ( x) = 2 x −4 La derivada de la funció és 2 x ( x 2 − 4) − x 2 2 x 2 x 3 − 8 x − 2 x 3 − 8x f ' ( x) = = = 2 2 2 2 2 ( x − 4) ( x − 4) ( x − 4) Aquesta derivada val zero quan x=0.Si x0 la derivada és negativa i la funció és decreixent. El punt x=0 és un màxim relatiu x2 8. La funció f ( x) = és creixent o decreixent en x=2?. Justifica la ( x − 1) 2 resposta La derivada de la funció és.

3

1-Derivades 2 x( x − 1) 2 − 2( x − 1) x 2 2 x 3 − 4 x 2 + 2 x − 2 x 3 + 2 x 2 − 2 x 2 + 2 x = = ( x − 1) 4 ( x − 1) 4 ( x − 1) 4 El valor de la derivada quan x=2 és −8+ 4 f ' ( x =2) = 1 La funció és contínua arreu. Mirem la continuïtat quan x=1 lim f ( x) = lim 3 x = 3 − −
x →1 x →1

Si la funció és contínua ha de ser 3 = a La derivada de la funció és x ≤1  3 f ' ( x) =  2 2ax + b x > 1 En el punt 1 la derivada per l’esquerra és 3 i la derivada per la dreta és 2a + b . Per ser derivable han de coincidir aquests valors. Amb el resultat anterior de a = 3 ha de ser b= −3

x →1

lim f ( x) = lim ax 2 + b( x − 1) = a + +
x →1

13. Calcula la derivada de les funcions
f ( x) = sin 4 ln( x 2 + 5)

y ' = 4 sin 3 ln( x 2 + 5) cos ln( x 2 + 5)

[

[

] [

]

x ] x 2+ 5
2

5

1-Derivades f ( x) = ( x + 2) ln x

x +1 x+ 2 ( x + 2) ln x   ln x +  x +1 − x  2 x +1 y' =  x +1
f ( x) = cos x 2 + 16 y ' = − sin x + 16 ⋅
2

2x 2 x 2 +...