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LAS CONICAS
Y SUS APLICACIONES
Pedro Alegr´ıa (pedro.alegria@ehu.es)

Adem´as de las rectas, c´ırculos, planos y esferas que conoce cualquier estudiante de
Euclides, los griegos sab´ıan las propiedades de las curvas que se obtienen al cortar un
cono con un plano: la elipse, la par´abola y la hip´erbola. Kepler descubri´o al analizar
sus observaciones astron´omicas -y Newton lo demostr´omatem´aticamente sobre la
base de la ley universal de la gravitaci´on- que los planetas describen elipses. As´ı se
hizo de la geometr´ıa de la Grecia antigua piedra angular de la astronom´ıa moderna.
J. L. Synge (1897-1995)

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INDICE
1. Origen de las c´onicas.
2. Distintas definiciones de c´onica.
3. Construcci´on de c´onicas.
4. Propiedades reflexivas.
5. Los ´ovalos.
6.Clasificaci´on de una c´onica.
7. Propiedades varias.
8. C´onicas en la vida real.

1

1.

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ORIGEN DE LAS CONICAS.

Como ha sucedido en numerosas ocasiones, importantes creaciones en matem´aticas no tuvieron
un origen que pronosticara su relevancia posterior. Uno de estos casos es el de las conocid´ısimas
c´onicas, en un principio estudiadas casi por simple diversi´on, pero de tan variadasaplicaciones
en muchas ramas de la ciencia. Como es sabido, fue Apollonius de Perga, en el siglo III a.C. el
primero que las introdujo p´
ublicamente, escribiendo el m´as importante tratado antiguo sobre
las secciones c´onicas, aunque ya en el siglo anterior Menaechmus hab´ıa escrito el primer tratado
sobre c´onicas. Lo que no es tan conocido es que el motivo que origin´o esta craci´on no fueprecisamente el de explicar las ´orbitas de los planetas ni construir aparatos de radar, sino el de
buscar soluciones s´olo con regla y comp´as de los tres famosos problemas griegos que hoy sabemos
irresolubles, como son el de la duplicaci´on del cubo, la trisecci´on del ´angulo y la cuadratura del
c´ırculo.
Durante muchos siglos, las c´onicas fueron descartadas en los trabajos de losmatem´aticos hasta
que volvieron s´
ubitamente a la vida, al comprobarse que el mundo que nos rodea est´a lleno de
secciones c´onicas. En la elipse encontr´o Kepler la respuesta al enigma del movimiento planetario,
descubriendo que el planeta Marte (ahora sabemos que al igual que el resto de los planetas) tiene
o´rbitas el´ıpticas y el sol est´a situado en uno de sus focos (de ah´ı el nombre dado a estospuntos).
En base a este descubrimiento Newton enunci´o la famosa ley de la gravitaci´on universal; as´ı el
descubrimiento de Kepler se deduce como consecuencia matem´atica de dicha ley. Tambi´en los
sat´elites y los cometas tienen ´orbitas el´ıpticas, de mayor o menor excentricidad, lo cual es es en
cierto modo providencial, pues si se tratara de hip´erbolas o par´abolas, no volver´ıan arepetir su
ciclo. As´ı mismo, Galileo demostr´o que las trayectorias de los proyectiles son parab´olicas.

1.1.

Trisecci´
on de un ´
angulo.

Hoy en d´ıa, la propiedad menos importante de estas curvas, en vista de su utilidad para el
mundo matem´atico, es precisamente que cierto par de par´abolas permite la duplicaci´on del cubo
y cierta hip´erbola permite trisecar un ´angulo. Como labelleza no est´a re˜
nida con el inter´es,
veremos con cierto detalle esta u
´ltima construcci´on, desechada por los mismos griegos, debido a
que las mismas c´onicas no se pueden construir con regla y comp´as.
Sea α un ´angulo arbitrario. Se construye la circunferencia de centro O y radio OA = OB de
modo que AOB = α. Sea la recta OC bisectriz de α. Con OC como directriz y B como foco, seconstruye una rama de hip´erbola de excentricidad e = 2. Sea P el punto de intersecci´on de la
hip´erbola con el arco de circunferencia AB. An´alogamente se obtiene el punto P utilizando A
como foco. La situaci´on actual se representa en la figura siguiente:
A

P’
O

a

D
C
P

B

2

Por definici´on de hip´erbola, BP = 2P D y AP = 2DP (ver secci´on 2.3). Adem´as, debido a
la...