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Universidad de Costa Rica
Facultad de Ciencias
Escuela de Matem´ tica
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Ejercicios de Algebra Lineal.

Christian Fonseca Mora
2012

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1. Prefacio
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El objetivo de estas notas es ofrecer a los estudiantes del curso de Algebra Lineal un complemento
al material visto en clase y que les permita apropiarse de una serie de t´ cnicas para la resolucion de
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ejercicios. Como entodas las areas de la matem´ tica, la resolucion de ejercicios es la mejor manera de
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comprender tanto los resultados teoricos, como la aplicabilidad del Algebra Lineal y por lo tanto es
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indispensable que los estudiantes traten de resolver la mayor cantidad de ejercicios.
Usualmente no es posible cubrir el material del curso en el tiempo de clase y al mismo tiempo realizar
lasuficiente pr´ ctica para que los estudiantes identifiquen y dominen los distintos m´ todos utilizados
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en la resolucion de ejercicios, los cuales en muchos casos requieren de una aplicacion de los conceptos
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y resultados de la teor´a. En esa direccion, escrib´ estas notas con ejercicios resueltos pensando en que
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los estudiantes pueden guiarse con las explicaciones y as´ realizarsus propias conclusiones sobre como
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solucionar un determinado ejercicio.
La recomendacion a los estudiantes que utilicen estas notas es que primero intenten realizar el ejer´
cicio por su cuenta y que cuando definitivamente no puedan hallar la solucion, entonces recurran a las
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notas para identificar los fallos cometidos y cu´ l ser´a el m´ todo para encontrar la solucion. Como es
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usual en la matem´ tica, existen normalmente diversas maneras de solucionar un ejercicio, por lo que se
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ofrecen en estas notas solo algunas de las posibilidades.
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Los ejercicios fueron tomados de ex´ menes de semestres anteriores de la c´ tedra del curso MA1004
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Algebra Lineal de la Universidad de Costa Rica, especificamente entre los anos 2009 a 2011. De ninguna
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manera laresolucion de estos ejercicios pretende sustituir el estudio del material discutido en clase por
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el profesor, ni tampoco garantiza que el estudiante tenga un buen desempeno en los ex´ menes. Por
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tanto se recomienda al estudiante estudiar a conciencia el material del libro usado o las notas vistas
en clase y complementarlo con estas notas. Cualquier error en este documento esresponsabilidad del
autor. Agradezco a mis estudiantes que en muchos casos me han permitido corregir errores de escritura,
aunque este documento puede no estar excento de muchos m´ s.
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Christian Fonseca.

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Indice
1. Prefacio

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2. Sistemas de Ecuaciones Lineales

4

3. Matrices

13

4. Determinantes

33

5. Geometr´a vectorial de Rn
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45

6. Rectas y planos en Rn

567. Espacios vectoriales reales

78

8. Espacios con producto interno, ortogonalidad y proyecciones

95

9. Transformaciones lineales

109

10. Valores y vectores propios de operadores y matrices

126

11. Formas cuadr´ ticas, secciones conicas y superficies cuadr´ ticas
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´
a

137

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Ejercicios de Algebra lineal

Prof. Christian Fonseca

2. Sistemas deEcuaciones Lineales
1. Considere el sistema de ecuaciones lineales

 
) x ( )
 
1 3p −1  
 y = 17
 
 
−3 p −7  
9
 
z

(



 b 






a) Determine para que valores de p y de b el vector  8  es solucion del sistema.
´






b+7
Respuesta:
Para que el vector (b, 8, b + 7)t sea solucion del sistema, es necesario que:
´
1 · b + 3p · 8 −(b + 7)
= 17
b + 24p − b − 7
= 17
⇔
−3 · b + p · 8 − 7 · (b + 7) = 9
−3b + 8p − 7b − 49 = 9
⇔

24p
= 24
p
= 1
⇔
⇔
−10b + 8p = 58
−5b + 4p = 29

p=1

y

b = −5

b) En el sistema de ecuaciones dado, sustituya p por el valor que encontro en la parte (a) y
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determine el conjunto solucion del sistema.
´
Respuesta:
Sustituyendo p = 1, se obtiene el sistema en forma de...