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1

Cap´
ıtulo 1: Trigonometr´
ıa

Cap´
ıtulo 1

TRIGONOMETR´
IA
En este cap´
ıtulo generalizaremos la trigonometr´ del tri´ngulo rect´ngulo que ya se
ıa
a
a
ha estudiado en cursos anteriores. M´s a´n, encontraremos nuevas identidades, por ejemplo
a u
las f´rmulas de prostaf´resis. A su vez, recordaremos problemas del tipo:
o
e
Problema 1.0.1 Dos chimeneas AA y BB tienen igualaltura. Una persona que est´ entre
a
ellas en la recta AB observa que el ´ngluo de elevaci´n de la m´s cercana es de 60◦ . Despu´s
a
o
a
e
de caminar 24 metros en una recta perpendicular a AB observa que las elevaciones son de
45◦ a la m´s cercana y de 30◦ a la otra. Hallar la altura de las chimeneas y la distancia que
a
las separa.

Soluci´n:
o
De la figura 1.1 tenemos que:
A’B’

h

π p
π q
π
x
= cot ,
= cot ,
= cot ,
h
3 h
4 h
6

h

√
h
de modo que x = √ , p = h, q = h 3.
60
3
x
y
B
A
Utilizando el Teorema de Pit´goras obtea
nemos adem´s:
a
p 45 24 30
q
x2 +242 = p2 , y 2 +242 = q 2 . Reemplazando las relaciones anteriores se consiguen las
h2
ecuaciones
+ 242 = h2 , y 2 + 242 = 3h2 .
Fig. 1.1
3
√
√
De aqu´ se obtiene el primerresultado que es h = 12 6; adem´s que y = 12 14.
ı
a
Por otra parte, la distancia entre las chimeneas es
√
√
√
√
h
x + y = √ + y = 12 2 + 12 14 = 12 2(1 + 7).
3
Problema 1.0.2 Calcular el valor de cos 72◦ = sen 18◦ .

Soluci´n:
o
En la figura 1.2 hemos dibujado el tri´ngulo is´sceles ABC con v´rtice C con lados de medida
a
o
e
unitaria y cuyos ´ngulos basales miden 72◦ . A su vez,hemos trazado la bisectriz AD del
a
´ngulo interior < CAB = 72◦ con lo que el tri´ngulo ABD tambi´n es is´sceles y tiene los
a
a
e
o
mismos ´ngulos que el tri´ngulo ABC dado. Colocando AB = 2x y BD = u resulta, debido
a
a
al teorema de Apolonio ( o sea aqu´l que dice que en un tri´ngulo una bisectriz interior
e
a
divide al lado opuesto en raz´n de los otros lados):
o

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GEOMETR´IA

Fernando Arenas Daza

AB
BD
=
,
AC
DC

C

es decir:

2x
u
=
,
1
1−u
de donde se consigue:
u=

D
N

2x
.
1 + 2x

M

A

B

Fig. 1.2

Considerando ahora que CM es altura del tri´ngulo ABD y que AN es altura del tri´ngulo
a
a
ABD resulta que:
u
x
x = cos 72◦ = 2 =
,
2x
2x(1 + 2x)
y como x = 0, se obtiene la ecuaci´n:
o
4x2 + 2x − 1 = 0,consigui´ndose:
e

√
◦

x = cos 72 =

5−1
= sen 18◦ .
4

Problema 1.0.3 Una torre de altura h se encuentra al norte de un punto A y al oeste de
un punto B. En A y B los ´ngulos de elevaci´n de la parte m´s alta de la torre son 18◦ y
a
o
a
√
√
◦
45 , respectivamente. Si AB = 100 2 metros, demuestre que h = 50 3 − 5 metros.

Soluci´n:
o
En la figura 1.3 se tiene que la torre es CD, CD= h, adem´s:
a
< CAD = 18◦ , < CBD = 45◦ ,

tambi´n AC⊥CB, x = AC, h = CB.
e
Luego:
x = h cot 18◦ ,

D

h

C
18”

x

B

y por teorema de Pit´goras:
a
√ 2
(100 2) = AB 2 = x2 +h2 = h2 cot2 18◦ +h2 ,
o sea:

A

Fig. 1.3
de donde:

45”
h

√
(100 2)2 = h2 cosec2 18◦ ,
√
h = 100 2 sen2 18◦ ,

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Cap´
ıtulo 1: Trigonometr´
ıa

luego:
√

√

h = 100 2 ·√
√
5−1
= 25 · 2 · ( 5 − 1),
4

(1)

pero:
√
√
√
√
√
( 5 − 1)2 = 6 − 2 5 = 2(3 − 2 5) ⇒ 5 − 1 = 2 ·

3−

√

5,

(2)

por lo tanto, de (1) y (2) se obtiene:

h = 25 ·

√

2·

√

2·

3−

Problema 1.0.4 A las 10 A.M. una persona que viaja en un buque que navega en
la direcci´n 38◦ al sur del este con una
o
rapidez de 36 kil´metros por hora observa
o
pormedio de un prism´tico un faro en la
a
direcci´n 52◦ al norte del este. A las 13
o
P.M. vuelve a mirar el faro en el rumbo
24◦ al oeste del norte. Encontrar la distancia entre el faro y el buque en cada una de
las observaciones.

√

5 = 50 ·

3−

√

5.

N

β
O

o

E

αo

S

Fig. 1.3-1

Indicaci´n: En la figura 1.3-1 de la
o
derecha, las direcciones mostradas...