glaxias

Se llama identidad de Euler a un caso especial de la fórmula desarrollada por Leonhard Euler, notable por relacionar cinco números muy utilizados en la historia de las matemáticas y que pertenecena distintas ramas de la misma:

donde:
π (número pi) es un número irracional y trascendental que relaciona la longitud del círculo con su diámetro y está presente en varias de las ecuaciones másfundamentales de la física.
e (número de Euler) es el límite de la sucesión , que aparece en numerosos procesos naturales y en diferentes problemas físicos y matemáticos y es también un númeroirracional y trascendental.
i (unidad imaginaria) es la raíz cuadrada de -1, a partir del cuál se construye el conjunto de los números complejos.
0 y 1 son los elementos neutros respectivamente de laadición y la multiplicación
Esta identidad se puede emplear para calcular π:

Índice
1 Derivación
2 Logaritmos de números negativos
3 Véase también
4 Referencias
Derivación


Fórmula deEuler para un ángulo general.
La identidad es un caso especial de la Fórmula de Euler, la cual especifica que

para cualquier número real x. (Nótese que los argumentos para las funcionestrigonométricas sen y cos se toman en radianes.) En particular si

entonces

y ya que

y que

se sigue que

Lo cual implica la identidad


Para una forma alternativa de notar que la identidad de Euleres tanto verdadera como profunda, supongamos que:

en la expansión polinomial de e a la potencia x:

para obtener:

simplificando (usando i2 = -1):

Al separar el lado derecho de la ecuaciónen subseries real e imaginarias:

Se puede comprobar la convergencia de estas dos subseries infinitas, lo cual implica

Logaritmos de números negativos
Durante la historia ha habido disputassobre cómo calcular los logaritmos de números negativos. Gracias a la identidad de Euler, dicha disputa ha sido zanjada. Si queremos calcular, por ejemplo, podemos proceder de la siguiente manera:...