Glosario

¿Qué es la División Sintética?
La División Sintética es un procedimiento abreviado para realizar la división de un polinomio P(x) = anxn + an - 1xn - 1 +...+ a1x + a0 de grado n, esto es an 0, entre un polinomio lineal x - c. El procedimiento para realizar esta división es muy simple, primero se toman todos los coeficientes del polinomio P(x) y la constante c, con estos se construye una especiede ''casita'' que ayudará en el proceso
                                                           
Lo primero es ''bajar'' el coeficiente an, a este coeficiente también lo denotamos por bn - 1, luego se multiplica por la constante c, el resultado se coloca en la segunda columna y se suma al siguiente coeficiente an - 1, al resultado lo denotamos bn - 2                                                       
Este último resultado se multiplica nuevamente por c y se le suma al coeficiente an - 2 y el proceso se repite hasta llegar a a0. Los resultados parciales que se obtienen se denotan por bn - 1,  bn - 2,   ... ,  b1,  b0 (se inicia con bn - 1 pues el cociente tiene un grado menos que el dividendo), y el último valor obtenido se denota por r, pues es el residuo de la división, de esta manera lo que se obtiene es                                            
Así, el cociente de la división de P(x) por x - c es bn - 1xn - 1 + bn - 2xn - 2 + ... + b1x1 + b0 con un residuo r, en donde los coeficientes se detallan como

bn - 1 = an
bn - 2 = cbn - 1 + an - 1
bn - 3 = cbn - 2 + an - 2

b1 = cb2 + a2
b0 = cb1 + a1
r = cb0 + a0
EJEMPLO 1 (División Sintética)  
Realice la división de P(x) = 3x4 +2x3 - x2 + 4x + 2 entre x + 2.
Solución
Al realizar el algoritmo de la división sintética con los coeficientes de P(x) y -2 como valor de c se obtiene
                                                                
Así, el cociente de la división de P(x) entre x + 2 es 3x3 - 4x2 + 7x - 10 y se obtiene un residuo r = 22.

| teorema del residuo Teorema que establece que si un polinomio dex, f(x), se divide entre (x - a), donde a es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(a). Por ejemplo, si f(x) = x2 + x - 2 se divide entre (x-2), el residuo es f(2) = 22 + (2) - 2 = 4. Este resultado puede volverse obvio si cambiamos el polinomio a una de las siguientes formas equivalentes: f(x) = (x-2)(x+3) + 4 Como se muestra, la expresión anterior nos puede llevar fácilmentea esperar que 4 sea el residuo cuando f(x) se divide entre (x-2). El teorema del residuo nos puede ayudar a encontrar los factores de un polinomio. En este ejemplo, f(1) = 12 + (1) - 2 = 0. Por lo tanto, significa que no existe residuo, es decir, (x-1) es un factor. Esto puede mostrarse fácilmente una vez que reacomodamos el polinomio original en una de las siguientes expresiones equivalentes:f(x) = (x-1)(x+2) Como se muestra, (x-1) es un factor. | |

Teorema del residuo Si se divide la función polinomial ƒ(x) entre el binomio x - a donde a es un número real, el residuo es igual a ƒ(a). El teorema del residuo indica que el resultado de evaluar numéricamente una función polinomial para un valor a es igual al residuo de dividir el polinomio entre x - a. Un ejemplo de esto se ilustraen la parte de arriba. Se recomienda que el lector realice otras comprobaciones. Una conclusión muy importante del teorema del residuo es se puede evaluar numéricamente una función polinomial usando la división sintética. A partir de lo anterior, si ƒ(a) = 0, entonces x - a es un factor del polinomio porque el residuo es cero. Cuando se encuentra un valor de x para el cual ƒ(x) = 0 se ha encontradouna raiz del polinomio, en el supuesto anterior, a es una raiz del polinomio. ¿Todavía tienes dudas sobre este tema? Teorema del factor Si a es una raiz de ƒ(x), entonces x - a es un factor del polinomio, donde a es un número real. Aqui podemos observar la importancia de conocer el valor del residuo, ya que si éste es igual a cero, nos va a indicar que...