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Introducción a Los Campos Escalares Y Vectoriales
En cálculo vectorial, un campo vectorial es una asignación de un vector a cada punto en un subconjunto del espacio euclidiano. Un campo de vectores en el plano, por ejemplo, se puede visualizar como una flecha, con una magnitud dada y la dirección, que se adjunta a cada punto del plano. Los campos vectoriales se utilizan a menudo para modelar,por ejemplo, la velocidad y la dirección de un fluido en movimiento a través del espacio, o la fuerza y la dirección de algunas fuerzas , como la magnética o gravitatoria la fuerza, a medida que cambia de punto a punto.
Los elementos del cálculo diferencial e integral se extiende a los campos vectoriales de una manera natural. Cuando un campo vectorial representa la fuerza, la integral de línea deun campo vectorial representa el trabajo realizado por una fuerza en movimiento a lo largo de un camino, y bajo esta interpretación, la conservación de la energía se exhibe como un caso especial del teorema fundamental del cálculo . Los campos vectoriales útil se puede considerar como la representación de la velocidad de un flujo de movimiento en el espacio, y esta intuición física conduce anociones tales como la divergencia (que representa la tasa de variación del volumen de un flujo) y curvatura (que representa la rotación de un flujo).
En coordenadas, un campo vectorial en un dominio en el n -espacio de dimensión euclidiana se puede representar como un vector de función con valores que asocia una n -tupla de números reales a cada punto del dominio. Esta representación de un campovectorial depende del sistema de coordenadas, y hay una bien definida la ley de transformación al pasar de un sistema de coordenadas a otro. Los campos vectoriales se discuten a menudo sobre subconjuntos abiertos del espacio euclidiano, sino también tener sentido en otros subconjuntos tales como superficies , donde se asocian una flecha tangente a la superficie en cada punto (un vector de latangente ). De manera más general, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables , que son espacios que se ven como el espacio euclidiano en escalas pequeñas, pero pueden tener una estructura más compleja a escalas mayores. En este contexto, un campo vectorial da un vector tangente en cada punto de la variedad (es decir, una sección del fibrado tangente a la variedad). Los camposvectoriales son un tipo de campo de tensores.
Los campos vectoriales sobre subconjuntos del espacio euclidiano
Dado un subconjunto S de R n , un campo de vectores se representa mediante un vector de función con valores de V:S→Rn en la norma coordenadas cartesianas ( x 1 , …, x n ). Si S es un conjunto abierto , entonces V es una función continua , siempre que cada componente de la V es continua, ymás en general, V es C k campo vectorial si cada componente V es k veces continuamente diferenciable.
Un campo vectorial se puede visualizar como una n -dimensional del espacio con un n dimensiones vectores adjunta a cada punto. Dadas dos C k vectores campos V , W definido en S y un verdadero valor C k -función f definida sobre S , las dos operaciones de multiplicación y suma de vectores escalaresProducto escalar
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En matemática, el producto escalar, también conocido como producto interno, producto interior o producto punto (en inglés, dot product), es una operación binaria definida sobre dos vectores de un espacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar. Esta operación permite explotar los conceptos de lageometría euclídea tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.
El producto interior o producto escalar de dos...