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CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II

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4.1

Apuntes de Clases

Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 50

RELACIONES CONSTITUTIVAS. LEY DE HOOKE
GENERALIZADA
Introducción:

En este capítulo se establecerán las relaciones constitutivas que describen el
comportamiento de los materiales.
Se consideraran procesos isotérmicos y se utilizará tensores cartesianos en su
descripción.
Se describirála concepción moderna de la ley de Hooke y se analizará como su versión
mas generalizada puede ser “reducida” al caso de cuerpos homogéneos e
isotrópicos, estableciéndose las ecuaciones básicas de la elasticidad.
4.2

Ley de Hooke Generalizada

Un medio se dice que es elástico si posee un estado natural, en el cual esfuerzos y
deformaciones son cero, y al cual se puede “volver” luego de quelas fuerzas aplicadas
son removidas.
Bajo cargas aplicadas, los esfuerzos y las deformaciones “cambian” juntos, y las
relaciones entre estos, denominadas relaciones constitutivas, son una importante
característica de los medios.
Estas relaciones constitutivas iniciaron su desarrollo hace más de 300 años atrás, con
las determinaciones experimentales desarrolladas por Robert Hooke sobre“cuerpos
elásticos”.
Hooke concluyó que el esfuerzo es proporcional a la deformación.
Ejemplo: Ensayo barra a tracción:
Un caso ilustrativo de este concepto, corresponde
al análisis unidimensional de un ensayo de
tracción de una barra de acero.
En este caso, la tensión por unidad de área
transversal de la barra, es proporcional al
alargamiento unitario de ésta, tal como se
esquematiza en lafigura adjunta.
Se aprecia que, en cierta zona la relación entre el
alargamiento unitario y la tensión, se puede
considerar “lineal”, pudiendo identificarse el valor
de la pendiente de esta recta, como la constante

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Apuntes de Clases

que relaciona estas variables.
4.3

Forma Tensorial de la Ley de Hooke GeneralizadaLa forma “moderna” de la Ley de Hooke Generalizada establece que cada
componente del tensor de tensiones es una combinación lineal de todos los
componentes del tensor de deformación:

σ ij = cijkl ⋅ ekl ,
4.3.1

cijkl = ctes.

Caso general de un cuerpo linealmente elástico

Se dice que un cuerpo es linealmente elástico si obedece a la relación constitutiva
recién enunciada.
Como sesabe, las cantidades

cijkl

corresponden, a un tensor de cuarto orden, con

3 4 = 81 componentes.
4.3.2

Simetría del Tensor de Tensiones

Si se considera la simetría del tensor de tensiones
siguiente simetría del tensor

σ ji = σ ij ,

se puede establecer la

cijkl :

c jikl = cijkl .
4.3.3

Simetría del Tensor de Deformaciones

Análogamente al caso anterior, si seconsidera la simetría del tensor de deformaciones

e ji = eij , se puede establecer la siguiente simetría del tensor cijkl :

cijlk = cijkl .
Considerando ambos casos, la simetría del tensor de tensiones y la simetría del tensor
de deformaciones, el número de constantes elásticas independientes del tensor
reduce a 36.

cijkl

se

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4.3.4

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Apuntes de Clases

Existencia de una Función Energía de Deformación

Adicionalmente a lo anterior, consideraremos el argumento termodinámico de la
existencia de una función de energía interna por unidad de volumen.
La existencia de esta función podría establecerse a partir de la primera ley de la
termodinámica, que relaciona el cambio de la energía interna de un cuerpo(ya sea
cinética o de deformación), con el trabajo hecho sobre él (mecánico o de calentamiento).
Para el caso de procesos adiabáticos o isotérmicos, la función energía de deformación
puede establecerse como:

W=

1
1
cijkl eij ekl = σ ij eij .
2
2

Esta función posee la propiedad de
simetría del tensor

∂W
= σ ij = cijpq e pq , lo cual implica la siguiente
∂eij

cijkl :...