golden y la completud de las matematicas

GÖDEL Y LA INCOMPLETITUD DE LAS
MATEMÁTICAS





El logro de Gödel en la lógica moderna es singular y monumental - más que monumental, es una señal que permanecerá visible lejos en el espacio y en el tiempo.
John von Neumann1
Kurt Gödel en 1939



El presente artículo pretende dar a conocer al lector quién fue Kurt Gödel y qué dice su famoso resultado acerca de la incompletitudde las matemáticas a través de los pasos básicos de la demostración de éste. Para poder alcanzar el objetivo he considerado necesario comprender el enunciado del teorema de completud2. Por tanto, en primer lugar se explica este otro resultado de Gödel, aunque sin entrar en la justificación de tal.



1 ¿Quién fue Kurt Gödel?

Kurt Gödel ha sido sin lugar a dudas uno de los grandesmatemáticos del s. XX. Nació el 28 de abril de 1906 en Brno, ciudad de la actual República Checa, en el seno de una familia de ascendencia austríaca. Ya de pequeño destacó en su trayectoria escolar3. En 1924 Gödel marchó de su país natal a Austria para inscribirse en la universidad de Viena. Fue para cursar física, pero poco a poco su interés se orientó hacia las matemáticas en pos de una mayor exactitud.Finalmente se licenció en matemáticas centrándose en el campo de la lógica, campo en el que encontró la precisión que anhelaba. A lo largo de su vida siempre buscó la exactitud. Esto explica la poca cantidad de artículos que publicó en vida. Fue una persona que sólo publicó aquello que fue capaz de justificar con claridad abrumadora, incluso para convencer a los más escépticos4.
En 1929 sedoctoró presentando el teorema de completud de la lógica de primer orden. Dos años después la irrupción de su teorema de incompletitud provocó una auténtica revolución que acabó con el Programa formalista de Hilbert. El resultado fue aceptado desde el primer momento, la exquisita claridad de su exposición fue tal que nadie dudó de la prueba dada. Un poco más tarde, en el año 1938, justificó laconsistencia relativa del axioma de elección y de la hipótesis del continuo.

1
Estas palabras fueron pronunciadas por von Neumann con motivo de la entrega a Gödel del premio
Einstein en 1951. Tal cual dice [Wan, pág. 179] están recogidas en New York Times, 15 de marzo de 1951, pág. 31.
2 Dependiendo de la literatura castellana que uno consulta se encuentra con el término completud o con eltérmino completitud. La elección del término aquí hecha ha sido totalmente arbitraria.
3 Durante esa etapa sólo en una ocasión recibió una calificación por debajo de la máxima, y curiosamente fue en matemáticas.
4 Esta parece ser la causa por la que publicó tan poco sobre su concepción de la filosofía de la matemática, lugar en el que se consideraba totalmente platónico.
Los tres resultadosanteriores constituyen los logros más famosos de Gödel en el terreno
de la lógica matemática, no los únicos. Se puede decir, por tanto, que su época más productiva fue la década de los años 30. Durante este tiempo Gödel estuvo ejerciendo de profesor de la universidad de Viena, aunque viajó en varias ocasiones al I.A.S.5 de Princeton. En el año 1938 se casó con Adele Nimbursky, con quien convivió hastasu muerte.
La pareja se trasladó definitivamente a Princeton en 1940, donde él se dedicó al I.A.S. Allí estuvo junto a grandes figuras de este siglo como Einstein, v. Neumann, Veblen, etc. Uno de los mejores amigos de Gödel fue Einstein. Juntos compartieron gran cantidad de paseos y conversaciones. Fueron dos genios de carácter muy diferente: mientras que Einstein fue una persona afable a laque gustó convivir con la fama, Gödel fue una persona solitaria, huraña e hipocondríaca. Poco a poco parece ser que Gödel comenzó a interesarse por la filosofía, tanto filosofía de la física6 como de la matemática, dejando un poco de lado la lógica matemática7. Finalmente murió el 14 de enero de 1978 por inanición, se negaba a comer convencido de que la comida estaba envenenada.

Gödel...