golo

Probabilidad*
Ernesto Mordecki

**

2 de mayo de 2007

´
Indice
1. Experimentos aleatorios y sucesos. Definici´n cl´sica de proo
a
babilidad
2
1.1. Experimentos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2. Sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3. Definici´n cl´sica de Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . .
o
a
3
2.Combinatoria y aplicaciones a la probabilidad
2.1. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Regla de la suma y otras propiedades de la
3.1. Operaciones con sucesos . . . . . . . . . . .
3.2. Regla de la suma . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Propiedades de la probabilidad . . . . . . .

probabilidad. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .

6
6
8
9
9
10
11

4. Probabilidad condicional. F´rmula de la probabilidad total.
o
F´rmula de Bayes.
o
13
5. Sucesos independientes

16

6. Paseo al azar sim´trico. Experimentos de Bernoulli y proe
babilidades binomiales
17
6.1. Probabilidades Binomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
*

Preparadaspensando en el Programa de matem´tica de 2o a˜o de Bachillerato del
a
n
N´cleo Com´n - Reformulaci´n 2006
u
u
o
**
Facultad de Ciencias, Centro de Matem´tica: mordecki@cmat.edu.uy
a

1

7. Ejercicios

20

8. Bibliograf´
ıa

24

1.
1.1.

Experimentos aleatorios y sucesos. Definici´n
o
cl´sica de probabilidad
a
Experimentos aleatorios

Las probabilidades aparecenasociadas a los fen´menos aleatorios. Un
o
fen´meno aleatorio es aquel en el cual la verificaci´n de un cierto conjuno
o
to de condiciones determinadas conduce a un resultado entre una serie de
resultados posibles. Llamamos experimento aleatorio a ese conjunto de condiciones determinadas. Por contraposici´n, los fen´menos determ´sticos, o
o
o
ı
no aleatorios son aquellos en los que laverificaci´n de un cierto conjunto de
o
condiciones determinadas conduce, en forma inevitable, a un resultado fijo.
Como ejemplos: tirar una moneda al aire y observar la cara que presenta al
caer al piso es un experimento aleatorio (tenemos dos resultados posibles:
cara y n´mero); mientras que enfriar agua hasta cero grados cent´
u
ıgrados
bajo presion atmosf´rica normal es un fen´meno determin´
e
oıstico (conduce
inequ´
ıvocamente a la formaci´n de hielo).
o

1.2.

Sucesos

Consideremos un experimento aleatorio, y designemos mediante la letra
griega may´scula Ω (Omega) el conjunto de todos sus resultados posibles.
u
Llamamos a este conjunto Ω espacio de sucesos elementales, y a sus puntos
sucesos elementales o tambi´n casos posibles. Suponemos que Ω es un cone
junto finito yutilizamos la letra n para designar su cantidad de elementos.
Ejemplo 1. Si tiramos una moneda al aire, tenemos un experimento aleatorio
con
Ω = {cara, n´mero},
u
y resulta n = 2.
Ejemplo 2. Si tiramos un dado, tenemos seis resultados posibles,
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
y en este caso n = 6.

2

Ejemplo 3. Si lanzamos un dado dos veces consecutivas, tenemos 36 casos
posibles,resultantes de combinar el primer resultado con el segundo, que
podemos representar en la siguiente tabla:
(1, 1)
(2, 1)
(3, 1)
(4, 1)
(5, 1)
(6, 1)

(1, 2)
(2, 2)
(3, 2)
(4, 2)
(5, 2)
(6, 2)

(1, 3)
(2, 3)
(3, 3)
(4, 3)
(5, 3)
(6, 3)

(1, 4)
(2, 4)
(3, 4)
(4, 4)
(5, 4)
(6, 4)

(1, 5)
(2, 5)
(3, 5)
(4, 5)
(5, 5)
(6, 5)

(1, 6)
(2, 6)
(3, 6)
(4, 6)
(5, 6)
(6, 6)donde, por ejemplo, el caso (3, 4) representa el resultado correspondiente a
obtener 3 puntos en la primer tirada y 4 en la segunda.
Llamamos suceso a cada subconjunto de Ω. Designamos a los sucesos
mediante las letras A, B, C, . . . con sub´
ındices o sin ellos. Los sucesos pueden
tener uno o varios elementos, y tambi´n ning´n elemento. En este ultimo
e
u
´
caso tenemos el suceso...