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Tema 2: El Oscilador
Amortiguado y forzado

Sistemas amortiguados
Cualquier sistema físico “real” sufre una pérdida continua de energía como
consecuencia de suinteracción con el medio que lo contiene. Esta
interacción se pueden identificar de manera genérica con la fricción.

Ffric = − β v

v(t ) = v0 e

⎡ kg ⎤
siendo β unaconstante ⎢ ⎥
⎣s⎦

β

−t
m

β
− t⎞
v0 m ⎛
m
x(t ) = x0 +
⎜1 − e ⎟
β⎝
⎠

Oscilaciones amortiguadas
ma = ∑ Fi
i

d 2x
dx
m 2 = −λ − kx
dt
dt
d 2 xλ dx k
+
+ x=0
2
dt
m dt m

γ=

2

dx
dx
2
+ 2γ
+ ω0 x = 0
dt 2
dt

x(t ) = e −γ t ⎡ A1 exp
⎢
⎣

(

λ

2m
k
ω02 =
m

Factor deamortiguamiento (s-1)
Frecuencia natural (s-1)

)

(

)⎦

γ 2 − ω02 t + A2 exp − γ 2 − ω02 t ⎤
⎥
Solución general

Movimiento oscilatorio amortiguado
Caso ω0>γ

ω12≡ ω02 − γ 2

⎡
⎤
x(t ) = e −γ t ⎣ A1e jω1t + A2 e − jω1t ⎦ = Ae −γ t cos (ω1t − δ )
Donde A y δ son constantes que dependen de las condiciones iniciales
La amplitud dela oscilación
disminuye con el tiempo.
El cociente entre dos
máximos consecutivos se
denomina decremento

Ae −γ T
= eγτ
Ae −γ (T +τ )
Y al factor de laexponencial
decremento logarítmico

⎛γ
⎞
dx
−γ t
v(t ) =
= − Ae ω1 ⎜ cos(ω1t − δ ) + sin(ω1t − δ ) ⎟
dt
⎝ ω1
⎠
•La energía del oscilador también disminuye, debido altrabajo de la fuerza Fr
de rozamiento viscoso opuesta a la velocidad.

⎞
dWR
2
2 2 −2γ t ⎛ γ
= Fv = −2mγ v = −2mγω1 A e ⎜ cos(ω1t − δ ) + sin(ω1t − δ ) ⎟
dt
⎝ ω1⎠

2

Movimiento aperiódico crítico
Caso ω0=γ

x(t ) = ( A1 + A2t ) e−γ t

• Decae sin oscilar y rápidamente

Movimiento aperiódico sobreamortiguado
Caso ω0