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Publicado: 22 de septiembre de 2013
Proporcionalidad
Los dos rectángulos con franjas son semejantes, los cocientes de sus dimensiones se indican horizontalmente en la imagen. La duplicación de la escala del triángulo con franjas se indica oblicuamente en la imagen.
La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe aque es en buena medida intuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar las relaciones entre las magnitudes.
Índice [ocultar]
1 Símbolo
2 Proporcionalidad directa
2.1 GUÍESE CON LOS SIGUIENTES EJEMPLOS
2.2 Primer ejemplo
2.3 Segundo y penúltimo ejemplo
2.4TERCER Y ULTIMO EJEMPLO
3 Aplicación en geometría
3.1 Propiedades
4 Proporcionalidad inversa
5 Factor de proporcionalidad inversa
6 Coordenadas hiperbólicas
7 Proporcionalidad exponencial y logarítmica
8 Determinación experimental
9 Relación de equivalencia
9.1 Reflexividad
9.2 Simetría
9.3 Transitividad
10 Repartos proporcionales
10.1 Antecedente histórico
10.2 Casos de repartosproporcionales
10.3 En partes inversamente proporcionales
11 Véase también
11.1 Crecimiento
12 Enlaces externos
Símbolo[editar]
El símbolo matemático '∝' se utiliza para indicar que dos valores son proporcionales. Por ejemplo, A ∝ B. En Unicode el símbolo es U+221D.
Proporcionalidad directa[editar]
Dadas dos variables x e y, y es (directamente) proporcional a x (x e y varían directamente, o xe y están en variación directa) si hay una constante k distinta de cero tal que:
La relación a menudo se denota
y la razón constante
es llamada constante de proporcionalidad.
GUÍESE CON LOS SIGUIENTES EJEMPLOS[editar]
Primer ejemplo[editar]
La receta de un pastel de vainilla indica que para cuatro personas se necesitan 200 g de harina, 150 g de mantequilla, cuatro huevos y 120 g deazúcar. ¿Cómo adaptar la receta para cinco personas? Según varios estudios, la mayoría de la gente calcularía las cantidades para una persona (dividiendo entre cuatro) y luego las multiplicaría por el número real de personas, cinco, otras solo le sumarían lo que a una persona le corresponde. Una minoría no siente la necesidad de pasar por las cantidades unitarias (es decir por persona) ymultiplicaría los números de la receta por 5/4 = 1,25 (lo que equivale a añadir cinco huevos, 250 g de harina; 187,5 g de mantequilla y 150 g de azúcar).
Se dice que la cantidad de cada ingrediente es proporcional al número de personas y se representa esta situación mediante una tabla de proporcionalidad: coeficiente k no nulo ( en el ejemplo) tal que
Si se consideran e como valores de variables e ,entonces se dice que estas variables son proporcionales; la igualdad y = k·x significa que y es una Función lineal de x.
La representación gráfica de esta función es una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Una variación (incremento o decremento) de x da lugar a una variación proporcional de y (y recíprocamente, puesto que k≠0: y = 1/k · x):
Son las funciones más sencillasque existen y las primeras que se estudian en clase de matemáticas, con alumnos de trece años aproximadamente.
La relación «Ser proporcional a» es
reflexiva ( toda variable es proporcional a sí misma, con el coeficiente 1)
simétrica (cuando y es proporcional a x entonces x lo es a y, con el coeficiente inverso) y
transitiva (si x es proporcional a y, e y a z, entonces x lo es con z,multiplicando los coeficientes)
por lo que se trata de una relación de equivalencia. En particular dos variables proporcionales a una tercera serán proporcionales entre sí).
La tabla del primer ejemplo se puede descomponer en tres de formato dos por dos:
por tanto las propiedades de la proporcionalidad se ilustran preferentemente con tablas de cuatro casillas.
Una proporción está formada por...
Los dos rectángulos con franjas son semejantes, los cocientes de sus dimensiones se indican horizontalmente en la imagen. La duplicación de la escala del triángulo con franjas se indica oblicuamente en la imagen.
La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe aque es en buena medida intuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar las relaciones entre las magnitudes.
Índice [ocultar]
1 Símbolo
2 Proporcionalidad directa
2.1 GUÍESE CON LOS SIGUIENTES EJEMPLOS
2.2 Primer ejemplo
2.3 Segundo y penúltimo ejemplo
2.4TERCER Y ULTIMO EJEMPLO
3 Aplicación en geometría
3.1 Propiedades
4 Proporcionalidad inversa
5 Factor de proporcionalidad inversa
6 Coordenadas hiperbólicas
7 Proporcionalidad exponencial y logarítmica
8 Determinación experimental
9 Relación de equivalencia
9.1 Reflexividad
9.2 Simetría
9.3 Transitividad
10 Repartos proporcionales
10.1 Antecedente histórico
10.2 Casos de repartosproporcionales
10.3 En partes inversamente proporcionales
11 Véase también
11.1 Crecimiento
12 Enlaces externos
Símbolo[editar]
El símbolo matemático '∝' se utiliza para indicar que dos valores son proporcionales. Por ejemplo, A ∝ B. En Unicode el símbolo es U+221D.
Proporcionalidad directa[editar]
Dadas dos variables x e y, y es (directamente) proporcional a x (x e y varían directamente, o xe y están en variación directa) si hay una constante k distinta de cero tal que:
La relación a menudo se denota
y la razón constante
es llamada constante de proporcionalidad.
GUÍESE CON LOS SIGUIENTES EJEMPLOS[editar]
Primer ejemplo[editar]
La receta de un pastel de vainilla indica que para cuatro personas se necesitan 200 g de harina, 150 g de mantequilla, cuatro huevos y 120 g deazúcar. ¿Cómo adaptar la receta para cinco personas? Según varios estudios, la mayoría de la gente calcularía las cantidades para una persona (dividiendo entre cuatro) y luego las multiplicaría por el número real de personas, cinco, otras solo le sumarían lo que a una persona le corresponde. Una minoría no siente la necesidad de pasar por las cantidades unitarias (es decir por persona) ymultiplicaría los números de la receta por 5/4 = 1,25 (lo que equivale a añadir cinco huevos, 250 g de harina; 187,5 g de mantequilla y 150 g de azúcar).
Se dice que la cantidad de cada ingrediente es proporcional al número de personas y se representa esta situación mediante una tabla de proporcionalidad: coeficiente k no nulo ( en el ejemplo) tal que
Si se consideran e como valores de variables e ,entonces se dice que estas variables son proporcionales; la igualdad y = k·x significa que y es una Función lineal de x.
La representación gráfica de esta función es una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Una variación (incremento o decremento) de x da lugar a una variación proporcional de y (y recíprocamente, puesto que k≠0: y = 1/k · x):
Son las funciones más sencillasque existen y las primeras que se estudian en clase de matemáticas, con alumnos de trece años aproximadamente.
La relación «Ser proporcional a» es
reflexiva ( toda variable es proporcional a sí misma, con el coeficiente 1)
simétrica (cuando y es proporcional a x entonces x lo es a y, con el coeficiente inverso) y
transitiva (si x es proporcional a y, e y a z, entonces x lo es con z,multiplicando los coeficientes)
por lo que se trata de una relación de equivalencia. En particular dos variables proporcionales a una tercera serán proporcionales entre sí).
La tabla del primer ejemplo se puede descomponer en tres de formato dos por dos:
por tanto las propiedades de la proporcionalidad se ilustran preferentemente con tablas de cuatro casillas.
Una proporción está formada por...
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