Gr Ficas De Funciones

 CÁLCULO 1 MARZO 2015

GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES
E.CEBALLOS P.


Las funciones más usadas y sus gráficos son las siguientes:

1. Función lineal: Forma general , donde es la pendiente de la recta y es la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje Y. La siguiente figura muestra una recta cualquiera.Ejemplo: Determine la pendiente y la intersección con el eje Y de las siguientes rectas:
(a) , (b) .

Solución:
(a) Comparando con la forma general , concluimos que y . Es decir, la pendiente de la recta es y corta al eje Y en el punto .

(b) Escribimos la ecuación , en la forma , de donde se deduce que y que .

Usando Maple: (a)
> y:=2*x-3;

> plot(y,x=-2..5);

(b)
>y:=4/5*x-7/5;

> plot(y,x=-2..4);


Ejercicios:
1. Determine la pendiente y la intersección en y de la recta, y obtenga su gráfica.
(a) , (b) , (c) , (d) .
2. Un fabricante de pequeños aparatos domésticos encuentra que si produce hornos con tostador en un mes, su costo de producción está dado por la ecuación (en dólares).
a) Trace la gráfica de esta ecuación.
b) ¿Qué representan la pendiente y laintersección en y de esta gráfica?

3. Se proporcionan ecuaciones (i) y (ii) para la oferta y la demanda.
a) Trace la gráfica de las dos ecuaciones en un rectángulo de visualización apropiado.
b) Estime el punto de equilibrio de la gráfica .
c) Estime el precio y la cantidad de la mercancía producida y vendida en el punto de equilibrio.
(i) Oferta:
Demanda:
(ii) Oferta:
Demanda: .


2. Funcióncuadrática. Forma general .
Gráfica de la función cuadrática, que muestra el vértice y la intersección con el eje Y.


Ejemplo:
1. Trace la gráfica de la función cuadrática .
Solución:
Para esta función tenemos que , y . Como , la concavidad de la función (parábola) apunta hacia abajo. Como , la función corta al eje Y, en este valor de la ordenada. El vértice de la parábola es = . Elgráfico se obtiene, directamente o usando Maple.


> f(x):=-2*x^2+3;

> plot(f(x),x=-3..3,y=-15..10);

¿Cuál es el valor máximo de esta función?

2. Determine el valor máximo o mínimo de cada una de las siguientes funciones cuadráticas.
a) , b) .

Solución:

a) En este caso a = 1, b = 4 y c = 0. Por lo tanto, el vértice de la parábola es = = . Es decir, como , en el vértice () , tenemos un mínimo devalor .

Usando Maple:

> f(x):=x^2+4*x;



> plot(f(x),x=-6..2,y=-6..10);


b) Observe que en el vértice , es el valor máximo si , mientras que, es el valor mínimo si .

Para este ejemplo , . Luego, en = , tenemos un máximo de valor = , ya que .
Comprobación, usando Maple:
> f(x):=-2*x^2+4*x-5;

> plot(f(x),x=-1..3,y=-10..2);


Ejercicios:

1. Trace la gráfica de la parábola dada ydetermine las coordenadas de su vértice y de sus intersecciones.
a) , b) , c) .
2. Determine el valor máximo o mínimo de la función dada.
a) , b) , c) .

3. Determine la función cuya gráfica sea una parábola con vértice (1,-2) y que pase por el punto (4,16).
4. Si se lanza una pelota hacia arriba con una rapidez de 40 pies/s, su altura (en pies) después de segundos está dada por . ¿Cuál es laaltura máxima alcanzada por la pelota?
Solución:
25 pies.
5. Obtenga dos números cuya diferencia es 100 y cuyo producto sea lo más pequeño posible.
Solución:
50 , -50.
6. Para las funciones cuadráticas , (a) Determine el valor máximo o mínimo de la función dada, correcta a dos decimales (usando Maple).
(b) Determine el valor máximo o mínimo exacto de lafunción, y compárelo con su respuesta del inciso (a).

3. Función exponencial. .

Gráfica de la función.
> plot(exp(x),x=0..5,y=0..100);

Aplicación:

Una población que experimenta crecimiento exponencial aumenta de acuerdo con la fórmula

donde población al tiempo .
tamaño inicial de la población.
tasa relativa de crecimiento (expresada como una proporción de la población)....