Gradiente y derivada direccional

´ UNIVERSIDAD ANDRES BELLO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS F´ ISICAS

Curso: FMF107 F´ ısica o 2 semestre 2007 GU´ IA # 4 (Gradiente y Derivada Direccional)

1. Hallar el gradiente del campo escalar u =ln(x2 + y 2 + z 2 ) en el punto P0 (1, 1, −1) 2. Hallar el gradiente del campo escalar u = z e(x2 +y2 +z2 ) en el punto O(0, 0, 0) 3. Hallar el ´ngulo ϕ entre los gradiente de la funci´n u =arctg(x/y) en los puntos a o
M1 (1, 1) y M2 (−1, −1)

4. Hallar el ´ngulo ϕ entre los gradiente de la funci´n u = (x + y)ex+y en los puntos a o
M1 (0, 0) y M2 (1, 1)

5. Hallar el ´ngulo ϕ entre losgradiente de la funci´n u = a o
ln(x + y + z ) en el punto M2 (0, 0, 1)
2 2 2

x2 + y 2 + z 2 y v =

6. Hallar los puntos donde el gradiente del campo escalar u = sin(x + y) es ˆ + ˆ. ı  7. Hallarlos puntos donde el modulo del gradiente del campo escalar v = ln(x2 + y2 + z 2 )
es igual a 1.

8. Hallar la derivada direccional de la funci´n u = o

+ y2 + z2 en un punto arbitrario b c M (x,y, z) en la direcci´n del vector de posici´n r de este punto. o o direcci´n de su gradiente. o

x2 a2

2

2

9. Hallar la derivada direccional de la funci´n u = yzex en el punto P (0, 0, 1)en la o 10. Para los siguientes campos escalares, hallar la direcci´n y la magnitud de la variaci´n o o
m´xima en el punto r0 a a) u(r) = x2 y + y 2 z + z 2 x, r0 = (1, 0, 0) b) u(r) = xyz, r0 = (2,1, −1)

11. Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones en los puntos indicados
en las direcciones dadas: (a) f (x, y) = x + 2xy − 3y 2 ,(xo , yo ) = (1, 2),v = 3 i + 4 j 5 5(b) f (x, y) = log
1 x2 + y 2 , (xo , yo ) = (1, 0),v = ( √5 )(2i + j) 1 2 (c) f (x, y) = ex cos(πy),(xo , yo ) = (0, −1),v = −( √5 )i + ( √5 )j

(d) f (x, y) = xy 2 + x3 y,(xo , yo ) = (4, −2),v = (√1 )i + ( √3 )j 10 10

12. Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones a lo largo de vectores
unitarios en los puntos indicados en las direcciones paralelas al vector dado:...