Gradiente

Gradiente
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar f es un campo vectorial que indica en cada punto del campo escalar la dirección de máximo incremento del mismo. El gradiente serepresenta con el operador diferencial nabla seguido de la función (cuidado de no confundir el gradiente con la divergencia, ésta última se denota con un punto de producto escalar entre el operador nablay el campo)
Definición
Si se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una presión P (campo escalar de 3 variables), entonces el vector gradiente en un punto genérico delespacio indicará la dirección en la cual la presión cambiará más rápidamente. Otro ejemplo es el de considerar el mapa de líneas de nivel de una montaña como campo escalar que asigna a cada pareja decoordenadas latitud/longitud un escalar altitud (campo escalar de 2 variables). En este caso el vector gradiente en un punto genérico indicará la dirección de máxima inclinación de la montaña. Nóteseque el vector gradiente será perpendicular a las líneas de contorno (líneas "equiescalares") del mapa. El gradiente se define como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadasparciales del campo escalar, esto es:

Esta definición se basa en que el gradiente permite calcular fácilmente las derivadas direccionales. Definiendo en primer lugar la derivada direccional según unvector:

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar:

Con la definición anterior,el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:

Interpretación del gradiente
De forma geométrica el gradiente es unvector que se encuentra normal a una superficie o curva en el espacio a la cual se le esta estudiando, en un punto cualquiera, llámese (x,y), (x,y,z), (tiempo, temperatura), etcétera. Algunos...