Gradiente

GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR

CARMEN SÁNCHEZ DIEZ

EL GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR EN COORDENADAS RECTANGULARES, ESFÉRICAS Y CILÍNDRICAS: De la definiciónde gradiente:

r r df = grad(f ).dr

y podemos escribir en forma diferencial para coordenadas generales q1, q2, q3:

r  1 ∂f  1 ∂f 1 ∂f grad(f ) =  .dq1 ,.dq2 , .dq3   dr ∂q  dr2 ∂q2 dr3 ∂q3 1  1 

Expresión en coordenadas rectangulares o cartesianas: En estas coordenadas es: dr1 = dx, dr2 = dy , dr3 = dz Portanto:

r r ∂f r ∂f r ∂f r r r 1 ∂f 1 ∂f 1 ∂f grad(f ) = dx.i + .dyj + .dzk = i + j + k dx ∂x dy ∂y dz ∂z ∂x ∂y ∂z
En definitiva:

r ∂f r ∂f r ∂f r grad(f )= i + j + k ∂x ∂y ∂z

Expresión en coordenadas esféricas: En estas coordenadas es: dr1 = dρ , dr2 = Por tanto:

ρ.dθ , dr3 = ρ.senθ .dφ

r r r 1 ∂f 1 ∂f 1 ∂fr grad(f ) = dρ.ρ o + .dθ .θ o + .dφφ o dρ ∂ρ ρ.dθ ∂θ ρ.senθ .dφ ∂ι
O sea:

r 1 ∂f r o 1 ∂f r o ∂f r o .ρ + .θ + .φ grad(f ) = ∂ρ ρ ∂θ ρ.senθ ∂φ

Octubre,2004. Para casanchi.com

GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR

CARMEN SÁNCHEZ DIEZ

Expresión en coordenadas cilíndricas: En estas coordenadas es

dr1 = dρ , dr2 =ρ.dφ , dr3 = dh

Por tanto:

r r r o 1 ∂f 1 ∂f 1 ∂f r grad(f ) = dρ.ρ o + .dφ.φ o + .dh.h o dρ ∂ρ ρ.dφ ∂φ dh ∂h
O sea:

r 1 ∂f r o o ∂f r o ∂f r o grad(f )= ρ + .φ + .h ∂ρ ρ ∂φ ∂h

En resumen:

En cartesianas:

r ∂f r ∂f r ∂f r grad(f ) = i + j + k ∂x ∂y ∂z
r 1 ∂f r o 1 ∂f r o ∂f r o .ρ + .θ + .φ grad(f ) =∂ρ ρ ∂θ ρ.senθ ∂φ

En esféricas:

En cilíndricas:

r ∂f r o 1 ∂f r o o ∂f r o grad(f ) = ρ + .φ + .h ρ ∂φ ∂ρ ∂h

Octubre, 2004. Para casanchi.com