gradientes conjugados y diferencias finitas

INDICE
Indice
1. Introduccion 3
2. Preliminares 4
2.1. Gradientes Conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2. Diferencias centrales . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3. Problema a resolverse 10
4. Solucion: Pasos a seguir 11
5. Programa en Matlab 15
5.1. Archivos de las funciones auxiliares . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.1.1. Datos de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.1.2. Funcion que hace a la ecuacion no homogenea,F1 . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.1.3. Solucion verdadera del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.2. Programa Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 15
Elementos de matematica aplicada Hoja 2 de 20
1. Introduccion
Dada una ecuacion elptica de Poisson, denida sobre un dominio rectangular R, buscaremos
conocerde manera aproximada la solucion de dicha ecuacion diferencial, en ciertos puntos interiores
al dominio R.
Los metodos con los que trabajaremos seran: Diferencias centrales, para trabajar conderivadas de
segundo orden, y gradiente conjugado, para resolver de modo aproximado un sistema matricial.
Comenzaremos con una seccion de preliminares en la que explicaremos brevemente ambos metodos.Departamento de Matematica - UNLP Hoja 3 de 20
2 PRELIMINARES
2. Preliminares
2.1. Gradientes Conjugados
Este es un metodo iterativo, que permite resolver de manera numerica sistemas deecuaciones
lineales, cuyas matrices son simetricas y denidas positivas. Este tipo de sistemas surgen frecuen-
temente cuando se resuelven ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
Este metodotambien es muy utilizado en problemas de optimizacion sin restricciones.
Supongamos que queremos resolver el sistema Ax=b, con A 2 0; j = 1; : : : ; k.
Es facil ver a partir de esta denicion...