grado

TRIGONOMETRIA
La trigonometría estudia las relaciones existentes entre los ángulos y los lados de un triángulo.
La base de su estudio es el ángulo.
Angulo es la porción del plano limitada por dos semirrectas que tienen un origen común. Según
el sentido del giro decimos que:
Un ángulo es positivo si el giro para describirlo es de sentido contrario al de las agujas del
reloj.
Un ángulo esnegativo si el giro para describirlo es del mismo sentido que el giro de las agujas
del reloj.
-

Unidades. Para medir ángulos se emplean como medidas principales:
El giro o ángulo completo.
El ángulo llano.
El cuadrante o ángulo recto.
Para unidades secundarias se emplean tres sistemas:
Sistema sexagesimal. Un grado sexagesimal es 1/360 parte del ángulo completo. El grado a su vez
sedivide en 60 minutos, y cada minuto en 60 segundos.
Sistema centesimal. Un grado centesimal es 1/400 parte del ángulo completo. Cada grado
centesimal se divide a su vez en 100 minutos centesimales y este a su vez en 100segundos
centesimales.
Radianes. Radian es el ángulo central cuyo arco tiene la misma longitud que el radio de la
circunferencia.
π radianes 180º

Razones trigonométricas de unángulo.
Seno de un ángulo es la razón constante entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Coseno de un ángulo es la razón constante entre el cateto contiguo ó adyacente al ángulo y la
hipotenusa.
Tangente de un ángulo es la razón constante entre el cateto opuesto y el cateto contiguo ó
adyacente.

Líneas trigonométricas.
Las razones trigonométricas se pueden asociar a laslongitudes de los segmentos que genera el
radiovector que forma el ángulo en la circunferencia gnométrica(Radio=1).

1

Signo de las rezones trigonométricas

Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo.
cos²α + sen²α = 1
sen α
= tg α
cos α
1 + tg²α = sec²α
1 + cotg²α = cosec²α

Estas relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo nos permite que, conocida unarazón trigonométrica y el cuadrante al que pertenece el ángulo, poder calcular las restantes razones. Es un
ejercicio muy básico dentro de la trigonometría y lo único que requiere es conocer las relaciones entre
ellas y el signo que toman en cada cuadrante.
El siguiente cuadro recoge todas las relaciones que se pueden utilizar en este tipo de ejercicio.
sen α = ± 1 − cos 2 α
sen α

sen 2 α +cos 2 α = 1 : 
tag α =
2
cosα
 cos α = ± 1 − sen α

1
1
1
cos α
cosec α =
sec α =
cotag α =
=
sen α
cos α
tag α sen α
tag 2 α + 1 = sec 2 α

cotag 2 α + 1 = cos ec 2 α

Ejemplo. Calcular todas las razones trigonométricas en los siguientes casos:
1
a. sen α = : α < 90º
3
3 π
b. cos α = − : < α < π
5 2
c. tag α = 2 : 180º < α < 270º
d.
e.
f.

3
: 270º < α < 360º2
3π
sec α = −2 : π < α <
2
cotag α = −1 : 270º < α < 360º
cosec α = −

Solución.
sen α ; cosec α > 0
1

sen α = Sí α < 90º ⇒ α ∈ 1º Cuadrante:  cos α ; sec α > 0
a.
3
 tag α ; cotag α > 0

Conocido el valor del seno se calcula el coseno mediante la ecuación fundamental.
sen 2 α + cos 2 α = 1

2

2

1
8 2 2
1
cos α = ± 1 − sen 2 α = + 1 −   = 1 − =
=
9
9
33
Conocido el seno y el coseno se calcula la tangente por su definición.
1
sen α
3 = 1 = 2
tag α =
=
cosα 2 2
4
2 2
3
Conocidas las razones directas (seno, coseno y tangente) se calculan la inversas (cosecante,
secante y cotangente) mediante su definición.
cosec α =

1
1
=
=3
sen α 1
3
cotag α =

b.

sec α =
1
=
tag α

1
2

1
1
=
cos α 2 2
=

4

4
2=
3

3
2 2

=

3 2
4

=2 2

sen α ; cosec α > 0
3
π

cos α = − : Sí < α < π ⇒ α ∈ 2º Cuadrante:  cos α ; sec α < 0
5
2
 tag α ; cotag α < 0


Conocido el valor del coseno se calcula el seno mediante la ecuación fundamental.
sen 2 α + cos 2 α = 1
2

9
16 4
 3
sen α = ± 1 − cos 2 α = + 1 −  −  = 1 −
=
=
25
25 5
 5
Conocido el seno y el coseno se...