Grafica De Funcines Cuadraticas

Grafica de funciones cuadráticas
U
na ecuación de segundo grado se representa de la forma y = ax2 + bx + c donde: a≠0, cuando graficamos una función de segundo grado obtenemos como resultado la gráfica de una parábola. Podemos construir una parábola a partir de los siguientes datos:
* Conocer las coordenadas de su vértice V(xv, yv)
* Generar una tabulación conociendo 3 valores antesdel vértice y tres valores después del vértice.
* Identificar si corta o no al eje x
* Identificar si corta o no al eje y
* Graficar estos puntos en un plano cartesiano
* Usar colores para la gráfica
Las ecuaciones de segundo grado pueden presentarse de la siguiente forma:
y=ax2
y= ax2+bx
y= ax2+c
y=ax2+bx+c
Vértice
El vértice en una ecuación cuadrática se obtiene de lasiguiente manera:
xv= -b2a
Para calcular el valor de yv, hay que evaluar la función con el valor obtenido de xv
yv=f(xv)
v=xv,yv
Gráficamente el vértice de una parábola lo localizamos de la siguiente manera, para esto utiliza la siguiente ecuación y= 2x2 + 3x - 1:
1. Trazamos una recta paralela al eje x de tal forma que corte a la parábola en dos puntos
2. Marcamos los puntos de corte conla parábola
3. Medimos el segmento y agregamos el punto medio
4. Trazamos una recta paralela al eje y que pase por el punto medio
5. Con le herramienta punto de intersección, marca el punto entre la recta y la parábola
6. En la vista grafica se observa el valor del vértice.
Utiliza GeoGebra para graficar y comprobar las soluciones.

Puntos de corte con el eje x
Cortes al eje x| Significado | Discriminante |
Dos puntos de corte | La ecuación tiene dos soluciones reales | b2 – 4ac ˃ 0 |
Un punto de corte | La ecuación tiene solo una solución real | b2 – 4ac = 0 |
No corta al eje | La ecuación no tiene solución real (números imaginarios) | b2 – 4ac ˂ 0 |

Como vemos en la tabla anterior gráficamente podemos conocer las soluciones de una ecuación de segundogrado.

¿Qué representan los coeficientes a, b y c en una ecuación de segundo grado?
Coeficiente a
Analicemos las siguientes gráficas para representar las variaciones de la parábola según los cambios en los coeficientes.
En la siguiente figura se observa la manipulación del coeficiente a (valores positivos)
Y= 6.5x2 - 1
Y= 6.5x2 - 1
Y= 4.5x2 - 1
Y= 4.5x2 - 1
Y= 2.5x2 - 1
Y= 2.5x2 - 1
Y=0.5x2 - 1
Y= 0.5x2 - 1

El coeficiente a representa la abertura de la parábola, mientras mayor es el valor de a más comprimida esta la parábola.
Y= - 0.5x2 - 1
Y= - 0.5x2 - 1
Y= -2.5x2 - 1
Y= -2.5x2 - 1
Y= - 4.5x2 - 1
Y= - 4.5x2 - 1
Y= - 6.5x2 - 1
Y= - 6.5x2 - 1

El coeficiente a también representa la abertura de la parábola, y nos dice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo, siel coeficiente a en negativo la parábola abre hacia abajo, si el coeficiente a es positivo la parábola abre hacia arriba.
Coeficiente b
Analicemos la variación del coeficiente b en la siguiente gráfica que representa funciones de la forma y = ax2 + bx + c
Y= x2 – x - 1
Y= x2 – x - 1
Y= x2 – 9x - 1
Y= x2 – 9x - 1
Y= x2 – 5x - 1
Y= x2 – 5x - 1
Y= x2 - 7x - 1
Y= x2 - 7x - 1
Y= x2 – 3x - 1Y= x2 – 3x - 1

El coeficiente b representa el desplazamiento de la parábola sobre el eje de las x, cundo el coeficiente b es negativo la parábola se desplaza hacia el lado positivo del eje, mientras mayor sea el valor absoluto de b mayor será el desplazamiento de la parábola.
Y= x2 + x - 1
Y= x2 + x - 1
Y= x2 + 3x - 1
Y= x2 + 3x - 1
Y= x2 + 5x - 1
Y= x2 + 5x - 1
Y= x2 + 7x - 1
Y= x2+ 7x - 1
Y= x2 + 9x - 1
Y= x2 + 9x - 1

El coeficiente b representa el desplazamiento de la parábola sobre el eje de las x, cundo el coeficiente b es positivo la parábola se desplaza hacia el lado negativo del eje, mientras mayor sea el valor absoluto de b mayor será el desplazamiento de la parábola.

Coeficiente c
Analicemos la variación del coeficiente b en la siguiente gráfica que...