Grafica de funciones

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

IBI-101

FUNCIONES
Definición de función: una función es un conjunto de pares ordenados de números (x, y) en el cual no hay pares ordenados distintos que tengan el mismo primer número (x). El conjunto de todos los valores posibles de x se llama dominio de la función, y el conjunto de todos los valores posibles de y se denomina imagen o rango de la función.Piense en una función como una máquina que toma como entrada un valor de x y produce una salida f(x). Cada valor de entrada se hace corresponder con un solo valor de salida, pero puede suceder que diferentes valores de entrada den el mismo valor de salida. Notación funcional: una sola letra como f (ó g ó F) se utiliza para nombrar a una función. Entonces f(x), que se lee “f de x”, denota el valorque f asigna a x. Por tanto, si f(x) = x2 – 4, entonces: f(2) = 22 – 4 = 0 f(-1) = (-1)2 – 4 = -3 f(a) = a2 – 4 f(a+h) = (a+h)2 – 4 = a2 + 2ah + h2 – 4 Dominio y Rango: para especificar por completo una función, debemos establecer, además de la regla de correspondencia, el dominio de la función. Por ejemplo: si F es la función definida por la regla de correspondencia F(x) = x2 – 1 con dominio {-1,0, 1, 2 ,3}, entonces el rango es {1, 2, 5, 10}. La regla de correspondencia, junto con el dominio, determinan el rango. Cuando no se especifica un dominio para una función, suponemos que es el conjunto más grande de números reales para el cual la regla de la función tiene sentido. Este se denomina dominio natural. Números que debe recordar excluir del dominio natural son aquellos que causaríanuna división entre cero o la raíz cuadrada de un número negativo.

Prof. Ismael Sánchez

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Ejemplo: determine los dominios naturales para: 1 1 a) f(x) = x+5 b) g(x) = c) h(w) = 9 − w 2 d) g(t) = x +3 9 − t2 a) el dominio natural de la función son todos los números reales. (no hay restricciones). {x ∈ ℜ} b) debemos excluir del dominio al 3 ya querepresentaría una división entre cero. Es decir: x-3≠0, por lo que x≠3. Entonces el dominio natural sería: {x ∈ ℜ : x ≠ 3} ó (− ∞, 3) ∪ (3, ∞ ) c) para evitar que la raíz sea negativa debemos elegir w de modo que 9 - w2 ≥ 0, así w debe ser un número menor que tres pero mayor a -3, por lo que |w| ≤ 3. El dominio sería: {w ∈ ℜ : w ≤ 3} ó [− 3, 3] d) para evitar la división entre cero y las raícescuadradas de números negativos, se debe excluir al -3 y al 3 del dominio natural por lo que el dominio sería: {t ∈ ℜ : t < 3} ó (− 3, 3) Cuando la regla de una función está dada por medio de una ecuación de la forma y = f(x), llamamos a x la variable independiente y a y la variable dependiente. El dominio de la función es el conjunto de todos los valores posibles para la variable independiente y el rangode la función es el conjunto de todos los valores posibles para la variable dependiente. Ejemplo: sea g la función que es el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) tal que: ⎧− 3 si x ≤ −1 ⎪ g( x ) = ⎨ 1 si − 1 < x ≤ 2 ⎪ 4 si x > 2 ⎩ El dominio de g es {x ∈ ℜ} ó (− ∞, ∞ ) , en tanto que su rango consta de los números -3, 1 y 4 solamente.

Ejemplo: sea H la función que es el conjunto detodos los pares ordenados (x, y) tal que:

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⎧x + 3 y =⎨ ⎩ 2

si x ≠ 3 si x = 3

La función H está definida por todos los valores de x por lo que {x ∈ ℜ}. El rango de H consta de todos los números reales excepto el 6 (porque f(3) sería 6 en la primera condición de la función), por lo que {y ∈ ℜ : y ≠ 6}

Gráficas defunciones: cuando tanto el dominio como el rango de una función son conjuntos de números reales, podemos describir la función haciendo un dibujo de su gráfica en un plano cartesiano. La gráfica de una función f es simplemente la gráfica de la ecuación y = f(x). 2 , graficamos la ecuación Ejemplo: para hallar el gráfico de la función g( x ) = x −1 2 de y = . x −1

Funciones pares y funciones impares:...