Grafica De Relaciones Binarias

MATEMÁTICA BÁSICA

GRÁFICA DE RELACIONES BINARIAS LINEAL Y CUADRÁTICA
Departamento de Ciencias

Objetivos
• Determinar la relación que existe entre los elementos de un par ordenado generado por (A XB). • Definir una relación binaria y sus clases. • Graficar una relación binaria determinando su dominio y rango. problemas aplicativos de • Resolver programación lineal , para maximizar ominimizar cantidades.

ORGANIZADOR GRÁFICO

GRÁFICA DE RELACIONES BINARIAS LINEAL Y CUADRÁTICA

• DEFINICIÓN • EJEMPLOS • PROPIEDADES • APLICACIONES

MAPA CONCEPTUAL

PAR ORDENADO

RELACIÓN BINARIA

PRODUCTO CARTESIANO

RELACION DE EQUIVALENCIA

GRÁFICOS DE RELACIONES BINARIAS

Dado un producto cartesiano A x B, si se verifica que entre los elementos de algunos (o todos) lospares ordenados que lo conforman se cumple una cierta propiedad, existe una relación R ⊂ A x B ⇔ ∀(x,y) ∈ R : x ∈ A ∧ Y ∈ B

Relacion binaria

Diagrama de Venn
A Sean A = { 1, 2 } y B = { 2, 3 } • • 2 1 En A x B = { (1, 2); (1, 3); (2, 2); (2, 3) } • • Definimos R ⊂ A x B : (x,y) ∈ R ⇔ y = 2x 3 2 De analizar los pares ordenados que conforman A x B resulta que algunos pueden verificar (otros no) opuede suceder que todos verifiquen e incluso también puede suceder que ningún par ordenado verifique la condición entonces (1, 2) ∈ R en el par (1, 2) x = 1 y = 2 2=2⋅1 en el par (1, 3) x = 1 y = 3 3≠2⋅1 entonces (1, 3) ∉ R en el par (2, 2) x = 2 y = 2 2≠2⋅2 entonces (2, 2) ∉ R en el par (2, 3) x = 2 y = 3 3≠2⋅2 entonces (2, 3) ∉ R R = { (1, 2) } B

Gráficos de relaciones binarias
La relaciónantes vista R = { (1, 2) } definida por comprensión será:

R = { (x, y) / x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ y = 2x } Observe que la definición por comprensión considera: los elementos que componen la relación pares ordenados (x, y) y∈B y = 2x a qué conjunto pertenecen cada uno de los elementos x ∈ A ; cómo se vinculan los elementos de cada par ordenado La relación se representa en ejes cartesianos, B 3 2 R⊂AxB(1, 3) (1, 2) (2, 3) (2, 2)

en diagrama de Venn y en tablas B •2 •3 A
1 2

A AxB •1 •2 A

R

B

2 x -

3 -

1

2

Diagrama cartesiano

Diagrama de Venn

Cuadro de doble entrada

Dominio y rango
Si

R = { (x,y) ∈ A x B / y = x2 } A R
•1 •2 •4 •5

B
•1 •4 •6 • 16

El dominio de la relación R es un conjunto formado por todos los elementos del primer conjunto (A),que intervienen en la relación La imagen de la relación R es un conjunto formado por todos los elementos del segundo conjunto (B) que intervienen en la relación Dm R = { 1, 2, 4 } Im R = { 1, 4, 16 }

•3

El dominio de la relación S es un conjunto formado por todos los elementos del primer conjunto (A), que intervienen en la relación La imagen de la relación R es un conjunto formado por todoslos elementos del segundo conjunto (B) que intervienen en la relación Dm S = { 4, 6, 16 }

S = { (y , z) ∈ B x C / z = y/2 } B
•1 •4 •6 • 16

S
•2 •3 •8

C

• 10

Im R = { 2, 3, 8 }

Gráficos de una relación lineal Para representar R1: R → R / f(x) = - 5 x Primero reconocemos que el dominio son todos los números reales Entonces cualquier valor de x debe tener un correspondiente en yTrazamos un par de ejes coordenados y confeccionamos una tabla de valores x 1 -1 0 2 -2 - 5 x -5 · 1 -5 · (-1) -5 · 0 -5 · 2 -5 · (-2) -5 5 0 -10 10 Y

Y finalmente porque es una relación que va de Reales en Reales, trazamos con línea llena una recta que une los puntos identificados

Gráficos de una relación cuadrática Para analizar el dominio de la expresión y = – x2 + 4x - 3 consideramosque la variable x puede tomar cualquier valor real Dm = { x / x ∈ R } Antes de definir la imagen, vamos a representar gráficamente la parábola Trazamos un par de ejes coordenados y para confeccionar la tabla de valores buscamos los valores de x que hacen 0 la función (raíces)
− 4 ± 4 − 4( −1)( −3) = 2( −1) x1 = 1 − 4 ± 16 − 12 = −2 x2 = 3
2 Rep. Gráfica

x 1 3 2 0 4

- x2 + 4x - 3 - 12 + 4 ·...