Graficar

Profr. Efraín Soto Apolinar

Graficación de funciones sin tabulación
Cuando se les solicita a los estudiantes que grafiquen una función lineal o cuadrática, es muy común que los estudiantes empiecen tabulando valores de x y y y a partir de la función, y = f ( x ) empiecen a calcular los valores de y que le corresponden a x. No está mal elaborar esto. De hecho, es útil cuando se tiene elpropósito de que practiquen la evaluación de una expresión algebraica en un valor dado. Sin embargo, es posible hacer más atractivo este tema1 a través de la aplicación de algunos “trucos” para la graficación de funciones elementales. A continuación se muestra una forma en que el estudiante puede “visualizar” las gráficas de las funciones a partir de unas pocas transformaciones del plano. Estastransformaciones se pueden aplicar a distintas funciones y nos ayudan a comprender mejor cómo se comportan y a graficarlas de una manera muy sencilla.De hecho, es posible que algunos estudiantes, después de haber terminado con este tema, puedan graficar una función lineal o de segundo grado inmediatamente después de leerla del pizarrón, sin esfuerzo aparente. Grafica la función: y = x − 1. Ejemplo 1

• Estafunción, en palabras dice: “al valor que me des de x le restaré 1, y ese valor se lo asignaré a la variable y. • Es una buena idea graficar primero la función: y = x, que en palabras dice: “Asignaré el valor de x que me dés a y.” • La gráfica de la función: y = x − 1, no pasa por el origen del sistema de coordenadas. La gráfica fue trasladada en una unidad hacia abajo2 : y = x+1 y 3 2 1 y=x y = x−1−3 −2 −1 0 −1 −2 −3

1

2

3

x

• La gráfica en palabras nos dice: “A los antiguos valores de y (de la función y = x) les resto 1; en otras palabras, estoy moviendo la gráfica de la función y = x una unidad hacia abajo y obtendo la gráfica de la función y = x − 1”.

1 La experiencia ha mostrado que el realizar cálculos de manera repetida con o sin apoyo de la calculadora frecuentemente escausa de la pérdida del interés en la clase de muchos estudiantes. 2 Respecto a la gráfica de la función y = x.

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Es importante que el estudiante sepa justificar por qué la gráfica se mueve verticalmente y no horizontalmente. Esta transformación, que consiste en la traslación vertical se aplica a cualquier función. A partir delejemplo anterior es muy fácil realizar el siguiente: Ejemplo 2 Grafica la función: y = x2 − 1. • Esta función polinomial en palabras dice: “El número que tú le asignes a la variable x lo multiplicaré por sí mismo, al resultado le restaré 1 y el valor así obtenido se lo asignaré a la variable y”. • Para graficar esta función observe que se transformó la función y = x2 con una traslación vertical. y y= x2 y = x2 − 1

6 5 4 3 2 1

−3

−2

−1 −1

x 0 1 2 3

• Explique a los estudiantes qué nos dice en palabras el término independiente: “A los valores de y, que es igual a x2 , les voy a restar 1”, es decir, “voy a mover la gráfica de y = x2 una unidad en el sentido negativo del eje y.” • Es importante que los estudiantes comprendan que estamos transformando la gráfica de la función conuna traslación (vertical). • De manera semejante, puede introducir el concepto de transformación de coordenadas, al hacer un nuevo eje y , teniendo y = y + 1.

Ahora veremos una nueva transformación.

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Grafica la función: y = 2 x. • Esta función, en palabras dice: “al valor que me des de x lo multiplicaré por 2, y esevalor se lo asignaré a la variable y”. y 4 y=x 3 2 1 x x 0 1 2 3 x 2x y = 2x

Ejemplo 3

−3

−2

−1 −1 −2 −3

• Al comparar las dos gráficas, vemos que la transformación consistió en un cambio en la inclinación de la recta. Ahora tiene más “pendiente”. • Generalmente los estudiantes captan mejor la idea de la dilatación del plano si sugiere que imaginen al plano como una película...