Graficas En R2

GRÁFICAS EN [pic]R2
RECTA, CIRCUNFERENCIA, PARÁBOLA, ELIPSE E HIPÉRBOLA



RECTA
[pic]

A la ecuación

[pic] Forma general

en la que x y y aparecen a la primera potencia, y donde A, B y C son constantes se le llama ecuación lineal y su gráfica es una línea recta.
Para trazar la gráfica de la ecuación de una recta, se determinan puntos (con dos son suficientes) cuyascoordenadas satisfagan la ecuación.
Cuando[pic], la recta corta a los dos ejes coordenados y se puede trazar con rapidez su gráfica. Para determinar la intersección con el eje x, se hace [pic] en la ecuación y se despeja x; la intersección con el eje y, se hace [pic] y se despeja y.




Trazar la gráfica de la ecuación [pic]

Solución:
Se hacen [pic] y [pic] para encontrar lasintersecciones respectivas.
Si [pic], entonces [pic] (la recta cruza al eje y en 6)
Si [pic], entonces [pic] (la recta cruza al eje x en 4)



|x |y |
| | |
|0 |6 |
| | |
|4 |0 |













Rectas verticales y horizontales
Las ecuaciones más simples de la recta son de la forma [pic] y [pic].
La gráfica de laecuación [pic] es una recta vertical que cruza al eje x en a. Se observa que [pic] es una ecuación que no contiene la variable y, lo significa que y puede tomar cualquier valor, o simplemente decimos que y es arbitraria.
De manera similar, la gráfica de la ecuación [pic] es una recta horizontal que cruza al eje y en b. En esta ecuación falta x, por lo tanto x es arbitraria.



Trazar las Graficasde las ecuaciones [pic] y [pic]

Solución:
[pic] es una recta vertical que cruza al eje x en 3; [pic] es una recta horizontal que cruza al eje y en 2 . Ver figura 15.














Graficar las ecuaciones [pic] y [pic]

Solución:
La recta vertical [pic] es precisamente el eje y.
Por consiguiente, [pic] es la ecuación del eje x.















CIRCUNFERENCIA.
[pic]

La ecuación de la circunferencia con centro en [pic] y radio r es


[pic] Forma estándar

Si [pic], entonces


[pic]

es la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio r.

Ahora bien, si en la ecuación dada en forma estándar seelevan al cuadrado los términos del primer miembro y se ordenan, se obtiene la ecuación


[pic] Forma general

Recíprocamente, la forma general puede escribirse en la forma estándar, completando cuadrados sobre los términos x y y. Aunque se debe tener cuidado, ya que una ecuación en forma general, no siempre es una circunferencia; si [pic] entonces la gráfica es una circunferencia; si[pic], la ecuación representa un solo punto; si [pic], entonces no hay puntos[pic]que satisfagan la ecuación, por tanto, no hay solución en los reales..



Trazar las gráficas de
a) [pic]
b) [pic]

Solución:
a) La gráfica de [pic] es una circunferencia con centro en [pic] y radio 3. (Figura 17)
b) La gráfica de [pic] es la circunferencia con centro en [pic] y radio 3. Podemosdecir que se trata de la misma gráfica de [pic] pero con el centro desplazado. (Figura 18)




















Para cada una de las siguientes ecuaciones, determinar la naturaleza de la gráfica completando cuadrados.

a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]

Solución:
Las constantes de las tres ecuaciones no son datos suficientes para conocer directamente la naturaleza de lagráfica. Por tanto, debemos pasarlas a la forma estándar, completando cuadrados

a) Empezamos reescribiendo la ecuación (a) como


[pic]


el término constante se lleva al segundo miembro y con espacios vacíos para insertar las constantes adecuadas para que se tenga un trinomio cuadrado, sumando las mismas constantes al segundo miembro para que no se altere la igualdad...