Graficas Sin Tabulacion

´ ´ Graficacion de funciones sin tabulacion
´ Cuando se les solicita a los estudiantes que grafiquen una funcion lineal o cuadr´ tica, es muy a ´ ´ comun que los estudiantes empiecen tabulando valores de x y y y a partir de la funcion, y = f ( x ) empiecen a calcular los valores de y que le corresponden a x. No est´ mal elaborar esto. De hecho, a ´ ´ ´ ´ es util cuando se tiene el proposito deque practiquen la evaluacion de una expresion algebraica en un valor dado. ´ Sin embargo, es posible hacer m´ s atractivo este tema1 a trav´ s de la aplicacion de algunos “trucos” a e ´ para la graficacion de funciones elementales. ´ A continuacion se muestra una forma en que el estudiante puede “visualizar” las gr´ ficas de las a funciones a partir de unas pocas transformaciones del plano. Estastransformaciones se pueden ´ aplicar a distintas funciones y nos ayudan a comprender mejor como se comportan y a graficarlas de una manera muy sencilla2 . De hecho, es posible que algunos estudiantes, despu´ s de haber e ´ terminado con este tema, puedan graficar una funcion lineal o de segundo grado inmediatamente ´ despu´ s de leerla del pizarron, sin esfuerzo aparente. e

Ejemplo 1
Grafica lafunci´ n: y = x − 1. o ´ • Esta funcion, en palabras dice: “al valor que me des de x le restar´ 1, y ese valor se lo asignar´ a la e e variable y. ´ • Es una buena idea graficar primero la funcion: y = x, que en palabras dice: “Asignar´ el valor e de x que me d´s a y.” e ´ • La gr´ fica de la funcion: y = x − 1, no pasa por el origen del sistema de coordenadas. La a gr´ fica fue trasladada en una unidadhacia abajo3 : a y = x+1 y 3 2 1 y=x y = x−1

−3 −2 −1 0 −1 −2 −3

1

2

3

x

1 La experiencia ha mostrado que el realizar c´ lculos de manera repetida con o sin apoyo de la calculadora frecuentea mente es causa de la p´ rdida del inter´ s en la clase de muchos estudiantes. e e 2 El autor aprendio por primera vez este m´ todo para graficar funciones en el curso de C´ lculo impartido porDr. C´ sar ´ e a e ´ Cristobal Escalante en la Universidad de Quintana Roo, quien es autor del libro: Graficaci´ n de funciones sin c´ lculo. o a 3 Respecto a la gr´ fica de la funcion y = x. ´ a

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• La gr´ fica en palabras nos dice: “A los antiguos valores de y (de la funci´ n y = x) les resto 1; a o en otras palabras, estoy moviendo la gr´ fica de la funci´ n y =x una unidad hacia abajo y obtendo la a o gr´ fica de la funci´ n y = x − 1”. a o

Es importante que el estudiante sepa justificar por qu´ la gr´ fica se mueve verticalmente y no e a horizontalmente. ´ ´ ´ Esta transformacion, que consiste en la traslacion vertical se aplica a cualquier funcion. A partir del ejemplo anterior es muy f´ cil realizar el siguiente: a

Ejemplo 2
Grafica la funci´ n:y = x2 − 1. o ´ • Esta funcion polinomial en palabras dice: “El numero que tu le asignes a la variable x lo mul´ ´ tiplicar´ por s´ mismo, al resultado le restar´ 1 y el valor as´ obtenido se lo asignar´ a la variable e ı e ı e y”. ´ ´ ´ ´ • Para graficar esta funcion observe que se transformo la funcion y = x2 con una traslacion vertical. y y = x2 y = x2 − 1

6 5 4 3 2 1

−3

−2

−1 −1x 0 1 2 3

• Explique a los estudiantes qu´ nos dice en palabras el t´ rmino independiente: “A los valores e e de y, que es igual a x2 , les voy a restar 1”, es decir, “voy a mover la gr´ fica de y = x2 una unidad a en el sentido negativo del eje y.” • Es importante que los estudiantes comprendan que estamos transformando la gr´ fica de la a ´ ´ funcion con una traslacion (vertical).www.aprendematematicas.org

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´ • De manera semejante, puede introducir el concepto de transformacion de coordenadas, al hacer un nuevo eje y , teniendo y = y + 1.

´ Ahora veremos una nueva transformacion.

Ejemplo 3
Grafica la funci´ n: y = 2 x. o ´ • Esta funcion, en palabras dice: “al valor que me des de x lo multiplicar´ por 2, y ese valor se lo e asignar´ a la variable y”. e y 4 y=x 3 2 1 x...