graficas trigonometricas

SECCIÓN 4.5 Gráficas de la tangente, cotangente, secante y cosecante

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4.5
Gráficas de la tangente, cotangente, secante y cosecante
Aprenderá acerca de...
■
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La función cotangente

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La función secante

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La función cosecante

La función tangente

La función tangente

La gráfica de la función tangente se muestra a continuación. Como sucede en los
casos de lasgráficas de seno y coseno, esta gráfica nos indica muchas propiedades de la función. En el siguiente recuadro se encuentra un resumen de las características de la tangente:

. . . porque
Esto proporciona las funciones
de las razones trigonométricas
restantes.

FUNCIÓN TANGENTE

[–3π /2, 3π /2] por [–4, 4]

f (x) ϭ tan x.
Dominio: Todos los reales excepto los múltiplos impares de ␲ր2.
Rango:Todos los reales.
Continua (por ejemplo, continua en su dominio).
Crece en cada intervalo de su dominio.
Simétrica con respecto al origen (impar).
Sin cota superior ni inferior.
Sin mínimos ni máximos locales.
Sin asíntotas horizontales.
Asíntotas verticales x ϭ k • ͑␲ր2͒ para todos los impares enteros k.
Comportamiento en los extremos: lím tan x y lím tan x no existen. (Los valores
x→Ϫϱx→ϱ
de las funciones oscilan continuamente entre Ϫϱ e ϱ sin aproximarse a un límite).

y
3
2
–2π
2

π

x

–3

FIGURA 4.45 La función tangente tiene
asíntotas justo en donde la función coseno es
cero.
y

3
2
1
–2π
2

Ahora analizaremos las razones de que la gráfica f (x) ϭ tan x presente el comportamiento señalado. De las definiciones de las funciones trigonométricas(sección
4.2) se sigue que
sen x
tan x ϭ ᎏᎏ.
cos x
A diferencia de las sinusoidales, la función tangente tiene un denominador que puede ser cero, lo que hace que la función sea indefinida en ese caso. Eso ocurre un número infinito de veces: en todos los valores de x para los cuales cos x ϭ 0. Es por
eso que la función tangente tiene asíntotas verticales en esos valores (figura 4.45).
Lafunción tangente es cero justo donde la función seno también es cero: todos los
múltiplos enteros de ␲ (figura 4.46).
Ya que sen x y cos x tienen como periodo 2␲, tal vez espere que el periodo de la
función tangente sea el mismo. Las gráficas muestran, sin embargo, que es ␲.

π

x

–3

FIGURA 4.46 La función tangente es cero justo
en donde la función seno también es cero.

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CAPÍTULO 4 Funciones trigonométricas

Las constantes a, b, h y k influyen en el comportamiento de y ϭ a tan(b(x Ϫ h) ϩ k
en la misma forma que lo hacen en la gráfica de y ϭ a sen(b(x Ϫ h) ϩ k. La constante a genera un estiramiento o compresión vertical, b afecta al periodo, h provoca una traslación horizontal y k causa que se tenga una traslación vertical. Sinembargo, los términos amplitud y corrimiento de fase no se emplean, como se hace únicamente para las sinusoidales.

EJEMPLO 1 Gráfica de la función tangente
Describa la gráfica de la función y ϭ Ϫtan 2x en términos de una función trigonométrica básica. Localice las asíntotas verticales y grafique cuatro periodos de
la función.
SOLUCIÓN El efecto del 2 es una compresión horizontal de lagráfica de
y ϭ tan x por un factor de 1/2, mientras que el efecto del Ϫ1 es un reflejo con respecto al eje x. Ya que las asíntotas verticales de y ϭ tan x son múltiplos impares
de ␲/2, el factor de compresión provoca que las asíntotas verticales de y ϭ tan 2x
sean múltiplos impares de ␲/2 (figura 4.47a). El reflejo respecto al eje x (figura
4.47b) no cambia las asíntotas.
Debido a que el periodode la función y ϭ tan x es ␲, el periodo de la función
y ϭϪtan 2x es (nuevamente, gracias al factor de compresión) ␲/2. De esta manera, para cualquier intervalo de longitud 2␲ se observarán cuatro periodos. En la
figura 4.47b se utiliza la ventana [Ϫ␲, ␲] por [Ϫ4, 4].

[– π , π ] por [–4, 4]
a)

Las otras tres funciones trigonométricas (cotangente, secante y cosecante) son recíprocas de...