Grafos

Teoría de grafos
En matemáticas y en ciencias de la computación, la teoría de grafos (también llamada teoría de las gráficas) estudia las propiedades de los grafos (también llamadas gráficas). Un grafo es un conjunto, no vacío, de objetos llamados vértices (o nodos) y una selección de pares de vértices, llamados aristas (edges en inglés) que pueden ser orientados o no. Típicamente, un grafo serepresenta mediante una serie de puntos (los vértices) conectados por líneas (las aristas).
Diagrama de un grafo con 6 vértices y 7 aristas.



Grafo


En la figura, V = { a, b, c, d, e, f }, y A = { ab, ac, ae, bc, bd, df, ef }.
Un grafo es una pareja de conjuntos G = (V,A), donde V es el conjunto de vértices, y A es el conjunto de aristas, este último es un conjunto de pares de laforma (u,v) tal que , tal que . Para simplificar, notaremos la arista (a,b) como ab.
En teoría de grafos, sólo queda lo esencial del dibujo: la forma de las aristas no son relevantes, sólo importa a qué vértices están unidas. La posición de los vértices tampoco importa, y se puede variar para obtener un dibujo más claro.
Muchas redes de uso cotidiano pueden ser modeladas con un grafo: una red decarreteras que conecta ciudades, una red eléctrica o la red de drenaje de una ciudad.
Subgrafo
Un subgrafo de un grafo G es un grafo cuyos conjuntos de vértices y aristas son subconjuntos de los de G. Se dice que un grafo G contiene a otro grafo H si algún subgrafo de G es H o es isomorfo a H (dependiendo de las necesidades de la situación).
El subgrafo inducido de G es un subgrafo G' de G talque contiene todas las aristas adyacentes al subconjunto de vértices de G.
Definición:
Sea G=(V, A). G’=(V’,A’) se dice subgrafo de G si:
1- V’ V
2- A' A
3- (V’,A’) es un grafo
Si G’=(V’,A’) es subgrafo de G, para todo v G se cumple gr (G’,v)≤ gr (G, v)
G2 es un subgrafo de G.

Aristas dirigidas y no dirigidas


En algunos casos es necesario asignar un sentido a las aristas, porejemplo, si se quiere representar la red de las calles de una ciudad con sus direcciones únicas. El conjunto de aristas será ahora un subconjunto de todos los posibles pares ordenados de vértices, con (a, b) ≠ (b, a). Los grafos que contienen aristas dirigidas se denominan grafos orientados, como el siguiente:
Las aristas no orientadas se consideran bidireccionales para efectos prácticos(equivale a decir que existen dos aristas orientadas entre los nodos, cada una en un sentido).
En el grafo anterior se ha utilizado una arista que tiene sus dos extremos idénticos: es un lazo (o bucle), y aparece también una arista bidireccional, y corresponde a dos aristas orientadas.
Aquí V = { a, b, c, d, e }, y A = { (a, c), (d, a), (d, e), (a, e), (b, e), (c, a), (c, c), (d, b) }.
Se considera lacaracterística de "grado" (positivo o negativo) de un vértice v (y se indica como (v)), como la cantidad de aristas que llegan o salen de él; para el caso de grafos no orientados, el grado de un vértice es simplemente la cantidad de aristas incidentes a este vértice. Por ejemplo, el grado positivo (salidas) de d es 3, mientras que el grado negativo (llegadas) de d es 0.
Según la terminologíaseguida en algunos problemas clásicos de Investigación Operativa (p.ej.: el Problema del flujo máximo), a un vértice del que sólo salen aristas se le denomina fuente (en el ejemplo anterior, el vértice d); tiene grado negativo 0. Por el contrario, a aquellos en los que sólo entran aristas se les denomina pozo o sumidero (en el caso anterior, el vértice e); tiene grado positivo 0. A continuación sepresentan las implementaciones en maude de grafos no dirigidos y de grafos dirigidos.En los dos casos, las especificaciones incluyen, además de las operaciones generadoras, otras operaciones auxiliares.
Ciclos y caminos hamiltonianos


Ejemplo de un ciclo hamiltoniano.
Un ciclo es una sucesión de aristas adyacentes, donde no se recorre dos veces la misma arista, y donde se regresa al punto...