Grafos

Los grafos son la representación natural de las redes, en las que estamos cada vez más incluidos. Exploramos qué son los grafos, para qué sirven y algunas reglas para dibujarlos bien. |
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La red de metro de Barcelona. Los mapas de las líneas del ferrocarril metropolitano son grafos que muestran la conectividad de las estaciones. 
Fuente: TMB (Transports Metropolitans de Barcelona).
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Los grafos son artefactos matemáticos que permiten expresar de una forma visualmente muy sencilla y efectiva las relaciones que se dan entre elementos de muy diversa índole. Un grafo simple está formado por dos conjuntos:
* Un conjunto V de puntos llamados vértices o nodos.
* Un conjunto de pares de vértices que se llaman aristas o arcos y que indican quénodos están relacionados.
De una manera más informal podemos decir que un grafo es un conjunto de nodos con enlaces entre ellos, denominados aristas o arcos.
En un grafo simple entre dos nodos sólo hay un arco. Si hay más de un arco hablamos de un multigrafo. Si los arcos se pueden recorrer en una en una dirección concreta pero no en la contraria lo llamamos grafo dirigido o dígrafo y los arcosson entonces aristas, si los arcos salen y llegan al mismo punto formando un bucle el grafo resultante se llama pseudografo. 
A pesar de que un grafo parece una estructura muy elemental, hay muchísimas propiedades de los grafos cuyo estudio ha dado lugar a una completa teoría matemática. (Para más información véase por ejemplo el glosario de grafos de Chris Caldwell o la introducción en español dela wikipedia o la más extensa en inglés)
Fue Leonhard Euler quien ideó los grafos como una manera muy potente y elegante de resolver el problema de los puentes de Königsberg. 
Königsberg (hoy Kaliningrado en Rusia) era en tiempos de Euler (siglo XVIII) una ciudad prusiana cruzada por siete puentes. Durante la época se suscitó la cuestión no resuelta de si era posible recorrer toda la ciudadcruzando cada uno de los puentes una y sólo una vez. Si hacemos una representación esquemática de la ciudad vemos que los puentes unen cuatro porciones de tierra. La búsqueda por prueba y error no conduce a ningún resultado. 
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El problema de los puentes de Königsberg.  Esta ciudad esta recorrida por el río Pregel que crea dos islas. ¿Se puede recorrer toda la ciudad pasando una sola vez portodos y cada uno de los 7 puentes que unen la parte insular de la ciudad con el resto?
Fuente: gráfico por el autor. | La solución de Euler. El famoso matemático abstrajo los detalles de la forma de la ciudad y sus puentes para quedarse con la conectividad, dando lugar a una de los primeros grafos. El orden de todos los vértices es impar, lo que implica que es imposible recorrerlos pasando unasola vez por cada uno.
Fuente: gráfico por el autor. |
Euler realizó una abstracción del problema representando mediante puntos las cuatro porciones de terreno y dibujando un arco entre cada dos puntos por cada puente. Llamó orden de cada vértice al numero de arcos que se reunían en el y se percató que el orden de cada vértice visitado en un recorrido sin saltos ha de ser par (sale un enlace yentra otro) excepto para dos puntos del grafo: aquellos donde se inicia y donde se acaba el recorrido, que han de tener orden impar. Si el vértice donde se inicia y se acaba son el mismo entonces todos los vértices han de ser de orden par.
En el problema de Königsberg el orden de todos los nodos es 3, esto es impar, por lo que quedó claro que no existía solución para el problema. No había un caminoque recorriese todos los puentes pasando una sola vez por cada uno de ellos.
El interés de este ejemplo es que además de dar lugar a una teoría matemática muy potente los grafos se dibujan y resultan muy intuitivos, especialmente cuando los vértices son pocos. Ejemplos de grafos que todos conocemos son los organigramas que explicitan la estructura formal de la empresa, los árboles genealógicos...