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El producto cruz o producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Sumódulo es igual a:


El producto cruz se puede expresar mediante un determinante:

Ejemplos
Calcular el product2o cruz de los vectores = (1, 2, 3) y = (−1, 1, 2).


Dados los vectores y ,hallar el producto cruz de dichos vectores. Comprobar que el vector hallado es ortogonal a y .



El producto vectorial de es ortogonal a los vectores y .

Área del paralelogramo
Geométricamente,el módulo del producto cruz de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.


Ejemplo
Dados los vectores y , hallar el área del paralelogramo quetiene por lados los vectores y ·


Área de un triángulo


Ejemplo
Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1).






Propiedades delproducto cruz
1. Anticonmutativa
x = − x
2. Homogénea
λ ( x ) = (λ) x = x (λ)
3. Distributiva
x ( + ) = x + x ·
4. El producto vectorial de dos vectores paralelos es igual al vector nulo.
x =5. El producto vectorial x es perpendicular a y a .


Propiedades






Producto punto
El producto punto o producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicarel producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

Expresión analítica del producto punto

Ejemplo
Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormalson: (1, 1/2, 3) y (4, −4, 1).
(1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3 = 5

Expresión analítica del módulo de un vector

Hallar el valor del módulo de un vector decoordenadas = (−3, 2, 5) en una base ortonormal.

Expresión analítica del ángulo de dos vectores

Determinar el ángulo que forman los vectores = (1, 2, −3) y = (−2, 4, 1).



Vectores...