Grafos

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Grafo

Grafo etiquetado con 6 vértices y 7 aristas.
En matemáticas y ciencias de la computación, una gráfica de barras (del griego grafos: dibujo, imagen) o gráfica es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto. Son objeto de estudio dela teoría de grafos.
Típicamente, un grafo se representa gráficamente como un conjunto de puntos (vértices o nodos) unidos por líneas (aristas).
Desde un punto de vista práctico, los grafos permiten estudiar las interrelaciones entre unidades que interactúan unas con otras. Por ejemplo, una red de computadoras puede representarse y estudiarse mediante un grafo, en el cual los vérticesrepresentan terminales y las aristas representan arrugas conexiones (las cuales, a su vez, pueden ser cables o conexiones alámbricas).
Prácticamente cualquier solución puede representarse mediante un grafo, y su estudio trasciende a las diversas áreas de las ciencias exactas y las ciencias sociales.

Historia y problema de los puentes de Königsberg

Los siete puentes de Königsberg.
El primer artículocientífico relativo a grafos fue escrito por el matemático suizo Leonhard Euler en 1736. Euler se basó en su artículo en el problema de los puentes de Königsberg. La ciudad de Kaliningrado, originalmente Königsberg, es famosa por sus siete puentes que unen ambas márgenes del río Pregel con dos de sus islas. Dos de los puentes unen la isla mayor con la margen oriental y otros dos con la margenoccidental. La isla menor está conectada a cada margen por un puente y el séptimo puente une ambas islas. El problema planteaba lo siguiente: ¿es posible, partiendo de un lugar arbitrario, regresar al lugar de partida cruzando cada puente una sola vez?
Abstrayendo este problema y planteándolo con la (entonces aún básica) teoría de grafos, Euler consigue demostrar que el grafo asociado al esquema depuentes de Königsberg no tiene solución, es decir, no es posible regresar al vértice de partida sin pasar por alguna arista dos veces.
De hecho, Euler resuelve el problema más general: ¿qué condiciones debe satisfacer un grafo para garantizar que se puede regresar al vértice de partida sin pasar por la misma arista más de una vez? Si definimos como "grado" al número de líneas que se encuentran enun punto de un grafo, entonces la respuesta al problema es que los puentes de un pueblo se pueden atravesar exactamente una vez sí, salvo a lo sumo dos, todos los puntos tienen un grado par.
Definiciones
Un grafo es un par ordenado , donde:
* es un conjunto de vértices o nodos, y
* es un conjunto de aristas o arcos, que relacionan estos nodos.
Normalmente suele ser finito. Muchosresultados importantes sobre grafos no son aplicables para grafos infinitos.
Se llama orden del grafo a su número de vértices,
El grado de un vértice o nodo es igual al número de arcos que se encuentran en él.
Un bucle es una arista que relaciona al mismo nodo; es decir, una arista donde el nodo inicial y el nodo final coinciden.
Grafo no dirigido

Un grafo no dirigido o grafo propiamente dichoes un grafo donde:
*
* es un conjunto de pares no ordenados de elementos de.
Un par no ordenado es un conjunto de la forma, de manera que. Para los grafos, estos conjuntos pertenecen al conjunto potencia de de cardinalidad 2, el cual se denota por .
Grafo dirigido

Artículo principal: Grafo dirigido.
Un grafo dirigido o dígrafo es un grafo donde:
*
* es un conjunto de paresordenados de elementos de .
Dada una arista , es su nodo inicial y su nodo final.
Por definición, los grafos dirigidos no contienen bucles.
Un grafo mixto es aquel que se define con la capacidad de poder contener aristas dirigidas y no dirigidas. Tanto los grafos dirigidos como los no dirigidos son casos particulares de este.
Variantes sobre las definiciones principales
Algunas aplicaciones...