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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

TEMA 3 (última actualización 16-8-2012)

DERIVABILIDAD

Recordemos el concepto de derivadas para funciones de una variable independiente y = f (x).
Para lo cual formamos el incremento de la función y = f (x +x ) - f (x )
El cociente incremental será : y = f (x +x ) - f (x )
xx



y en el limite

Si este límite existe, es por definición, la derivada de y con respecto a x en el punto x = 
Gráficamente, la derivada de y = f (x) en el punto x =  representa la pendiente de la tangente geométrica a la curva y = f( x) en el punto correspondiente a x = , en la figura 1 es la tg ().
Si en lugar de un punto fijo x = se toma unpunto genérico x, la derivada de y = f (x) es a su vez una función de x.

dy = d f(x) = f ' (x)
dx dx

Veamos ahora el concepto de derivada para funciones de varias variables.
Comencemos con funciones de dos variables z = f(x ,y) función de las variables x e y
Consideremos un punto fijo (a , b) perteneciente al dominio de la función.
Formaremos los incrementosde z respecto de x e y





El primero es el incremento parcial que tiene la función cuando se incrementa la variable x, mientras que la variable y permanece constante en y=b

El segundo es el incremento parcial que tiene la función cuando se incrementa la variable y, mientras que la variable x permanece constante en x = a. Consideramos los cocientes incrementales.Considerando el limite de estos cocientes incrementales cuando los incrementos de las variables x e y tienden a cero tendremos :





Si estos limites existen, se llaman derivadas parciales de la función con respecto a x y con respecto a y en el punto (a , b). Se representan de la siguiente manera :





que son números, ya que (a , b) es un punto fijo. Si se considera un puntogenérico (x ,y) tendremos :





Que son nuevas funciones de (x , y)
No debe interpretarse los símbolos y como cocientes pues son símbolos que representan los limites indicados.

En definitiva para calcular la derivada parcial de z = f (x,y) con respecto a x se considera a y como una constante y se deriva como función de x solamente.
Para calcular la derivada parcial de z = f (x,y)con respecto a y se considera a x como una constante y se deriva como función de y solamente.

INTERPRETACION GEOMÉTRICA

La ecuación z = f (x , y) tiene como representación gráfica una superficie en el espacio x y z





Al mantener y = yo constante, mientras que x varia, la ecuación z = f(x, yo) es la ecuación de la curva Ro que resulta de la intersección de la superficie z = f(x, y) y el plano y = yo

Por lo tanto la derivada parcial de la función respecto de x nos representa la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x, yo ). Por ejemplo cuando x = xo la tangente de  es igual a Zx ( xo ,yo)

Para otro valor constante de y y = y1 obtenemos otra curva R1 cuya ecuación es z=f(x, y1) que se obtiene como intersección de la superficie z = f(x, y) con elplano y = y1.

Es decir al variar y se obtienen las distintas curvas que son paralelas al plano z x .

La interpretación geométrica de la derivada parcial con respecto a y, es la misma que en el caso anterior, donde las curvas que se obtienen son las intersecciones de la superficie z = f (x , y) con los puntos x = Cte.

Así por ejemplo, la curva correspondiente a x = xo es z = f (xo, y) y laderivada de la función
nos da el valor de la pendiente de la recta tangente geométrica a la curva z = f (xo, y) en un punto de la misma.

DERIVADAS PARCIALES PARA FUNCIONES DE N VARIABLES.

Sea y = f (x1; x2; x3;......x n) una aplicación R n  R1 y sea hj el incremento de la variable xj.
Formemos el incremento de la función cuando la variable xj se incrementa en hj:
jy = f (x1;...