grandes smith

Algoritmo de Gram-Schmidt
Víctor Domínguez
Octubre 2011

1.

Introducción

El método de Gram-Schmit es un algoritmo para obtener, a partir de una base, otra
que genere el mismo espacio yademás sea ortogonal.
El algoritmo, escrito en forma de pseudocódigo, se muestra a continuación

{a1 , . . . , an } base original de un subespacio U
r11 := a1
e1 := a1 /r11
Para j = 2 hasta n
Parai = 1 hasta j − 1
rij := ei · aj
Fin Para
vj := aj − r1j e1 − r2j e2 − · · · − rj−1 j ej−1
rjj := vj
ej := vj /rjj
Fin Para
{e1 , . . . en } es una base ortonormal de U .
Observemos que encada paso j = 1, . . . , n,
span a1 , . . . , aj = span e1 , . . . , ej
Ejemplo Tomemos
a1 = (1, 1, 1, 1),

a2 = (1, −1, −1, −1),

a3 = (1, 1, 1, −1)

y consideremos U = span a1 , a2 , a3 . Losvectores {a1 , a2 , a3 } son linealmente independientes1 . Vamos a encontrar una base ortonormal de U y para ellos seguiremos los pasos
del Algoritmo. Los pasos intermedios están explicados endetalles, no así las cuentas, que
te invito que repases.
1

Compruébalo

1

2
Primero hacemos r11 = a1 = 2, y tomamos
e1 =

1
a1 = ( 12 , 12 , 21 , 12 ).
r11

Para j = 2, definimos
r12 =e1 · a2 = −1.
A continuación, tomamos
v2 = a2 − r12 e1 = ( 32 , − 21 , − 21 , − 21 ).
Finalmente
r22 = v2 =

12 √
= 3
4

y hacemos
e2 =

1
1
v2 = √ (3, −1, −1, −1).
r22
2 3

Para j= 3,
r13 = e1 · a3 = 1,

1
r23 = e2 · a3 = √ .
3

Por tanto,
v3 = a3 − r13 e1 − r23 e2 = (0, 32 , 23 , − 34 ).
Así
r33 = v3 =

√
24
2 6
=
9
3

y, en consecuencia,
e3 =

2.

11
v3 = √ (0, 1, 1, −2).
r33
6

Descomposición QR de una matriz

El proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt tiene una interpretación matricial
muy interesante en términos de unadescomposición/factorización matricial..
Por simplicidad, veámoslo primero con el ejemplo anterior. Así, en primer lugar
tenemos que
a1 = r11 e1
v2 = r22 e2
v3 = r33 e3
y por otro lado que
v2 = a2 − r12...