Grasillas En El Mundo

RESUMEN DEL TEMA 4 1. Experimentos
Experimento aleatorio: Aquel que puede dar lugar a diferentes resultados, conocidos previamente, sin que sea posible saber con certeza cu´l de ellos va a ser a observado en cada realizaci´n particular. o Espacio muestral: Conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Lo representamos por Ω. Tipos de espacio muestral. Seg´n eln´mero de elementos se clasifica en: u u • Discreto: no finito o infinito numerable de elementos. • Continuo: no infinito no numerable de elementos; en general, corresponde con intervalos o regiones de I o I n . R´ R

2. Sucesos
Suceso: Subconjunto del espacio muestral Ω. Los denotaremos por A, B, C,... Algunos sucesos de inter´s: e • Suceso elemental o simple: Suceso formado por un solo elemento. •Suceso seguro: Constituido por todos los sucesos elementales, es decir, Ω. • Suceso imposible: El que no contiene elementos, es decir, ∅. ´ Algebra de sucesos: Conjunto formado por todos los sucesos asociados a un experimento aleatorio. La representamos por A.

3. Operaciones con sucesos
Inclusi´n de sucesos. A ⊂ B( A contenido en B) si todos los elementos que o est´n en A pertenecen tambi´n aB. a e
1

Uni´n de sucesos. A ∪ B es el suceso formado por los elementos que est´n en o a A o en B o en ambos a la vez.
n ∞

Tambi´n podemos definir: e
i=1

Ai = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An y
i=1

Ai .

Intersecci´n de sucesos. A ∩ B es el suceso formado por los elementos que o est´n en A y en B a la vez. a
n ∞

Tambi´n podemos definir: e
i=1

Ai = A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An y
i=1

Ai .Suceso complementario. AC , el suceso complementario de A, es el suceso formado por todos los resultados que no est´n en A. a Diferencia de sucesos. A−B = A∩B C es el suceso formado por los elementos que est´n en A y no est´n en B. a a Sucesos incompatibles, disjuntos o mutuamente excluyentes. A y B son incompatibles si A ∩ B = ∅.
n

Partici´n. Colecci´n de sucesos A1 , A2 ,...., An tales queo o
i=1

Ai = Ω y los

sucesos son incompatibles 2 a 2, es decir, Ai ∩ Aj = ∅, ∀ i = j. Propiedades de las operaciones. • Conmutativa: A∪B =B∪A A∩B =B∩A • Asociativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) • Distributiva: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) • Elemento neutro: A∪∅=A
2

A∩Ω=A • Idempotente: A∪A=A A∩A=A • Relativas al sucesocomplementario: (AC )C = A, • Leyes de Morgan: (A ∪ B)C = AC ∩ B C (A ∩ B)C = AC ∪ B C • Relativas al elemento neutro: A ∪ Ω = Ω, A ∩ ∅ = ∅, ΩC = ∅, ∅C = Ω A ∪ AC = Ω, A ∩ AC = ∅

4. Definiciones de probabilidad
Definici´n cl´sica. Se utiliza cuando el espacio muestral es finito y los sucesos o a elementales son equiprobables. La probabilidad de un suceso A compuesto por k sucesos elementales se definecomo k P (A) = , n es decir, el cociente entre “casos favorables” y “casos posibles”. Esta definici´n es conocida tambi´n como regla de Laplace. o e Definici´n frecuentista. Se basa en la definici´n de fecuencia relativa de un o o suceso A: n(A) f (A) = , n es decir, el cociente entre el no de veces que ocurre el citado suceso (n(A)) y el no de repeticiones del experimento (n). Se define la probabilidadde A como P (A) = lim f (A).
n→∞ 3

Definici´n subjetiva. La probabilidad de cada suceso representa el grado de o creencia personal sobre la posibilidad de que el suceso ocurra y suele asignarse utilizando informaci´n basada en experiencias previas. o

5. Definici´n axiom´tica de probabilidad o a
Es la utilizada formalmente, desde el punto de vista matem´tico, como definia ci´n deprobabilidad. o a Definici´n. Dado un espacio muestral Ω y su ´lgebra de sucesos A, se define o una probabilidad como una aplicaci´n P : o P : A −→ I R, que verifica los siguientes axiomas: Axioma 1. P (A) 0, ∀A ∈ A.

Axioma 2. P (Ω) = 1. Axioma 3. Dada una colecci´n numerable de sucesos incompatibles 2 a 2, esto o es, A1 , A2 , ... ∈ A tales que Ai ∩ Aj = ∅, ∀ i = j, se verifica que:
∞ ∞

P
i=1

Ai...