Gravitación-problemas

Problemas de Selectividad:F´ısica
Juan P. Campillo Nicol´as
16 de junio de 2014

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Cap´ıtulo 1
Interacci´
on gravitatoria
1.1.

Conceptos previos.

Ley de Gravitaci´
on Universal: La fuerza con que se atraen dos masas viene
expresada por:
→
−
GMm →
ur
F =− 2 −
r
→
donde −
ur es un vector unitario radial. En el caso de querer calcular la fuerza que una
masa situada en(a, b), ejerce sobre otra situada en (c, d), resulta c´omodo hacer:
−
→
→ →
−
F = |F | −
ur
Donde ur se calcula de la forma:
ur =

→
−
→
−
(c − a) i + (d − b) j

(

(c − a)2 + (d − b)2 )

Como puede verse en el siguiente dibujo:

(c,d)
−
→
F

(a,b)
−
→
ur

Cuando queremos conocer la fuerza que varias masas puntuales ejercen sobre otra,
no tendremos m´as que hallarcada uno de los vectores fuerza que las otras masas
ejercen sobre la que consideramos, y sumar dichos vectores.
Intensidad de campo gravitatorio: La intensidad de campo gravitatorio viene
dada por la expresi´on:
GM −
→
−
→
g =−
ur
r
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´ GRAVITATORIA
CAP´ITULO 1. INTERACCION

4

Por lo que lo que, de forma similar al apartado anterior, podremos poner que:
→
−
→
→
g = |−
g|−u
r

Siendo de aplicaci´on lo que se ha mencionado anteriormente acerca del vector unitario
y de la intensidad de campo gravitatorio creado por varias masas en un punto.
Energ´ıa potencial gravitatoria y potencial gravitatorio en un punto: La
energ´ıa potencial gravitatoria se define como el trabajo necesario para desplazar una
masa desde el infinito hasta el punto que consideramos. Seobtiene a partir de la
expresi´on:
r
GMm → −
GMm
W =
− 2 −
u r · d→
r =−
r
r
∞
Como podemos ver, la energ´ıa potencial gravitatoria es una magnitud escalar, por
lo que la energ´ıa potencial de una masa debida a la presencia de otras, ser´a la suma
algebraica de las energ´ıas potenciales debidas a cada una de ellas.
Lo dicho anteriormente es v´alido cuando hablamos de potencialgravitatorio, con la
u
´ nica salvedad de que la masa m tendr´a el valor unidad.
Tercera ley de Kepler : El cuadrado del periodo de revoluci´on de un planeta
alrededor del Sol (y, por extensi´on, el periodo de rotaci´on de un cuerpo respecto a
otro), es directamente proporcional al cubo de la distancia media entre ambos, lo
que se puede expresar como:
T2 =

4π 2 r 3
,siendo M la masa del cuerporespecto al que se describe la o´rbita
GM

Velocidad de una ´
orbita: Teniendo en cuenta que el m´odulo de la fuerza de
atracci´on gravitatoria de un cuerpo sobre otro que gira respecto a ´el, puede expresarse
en la forma:
mv 2
GMm
=
ma
=
r2
r
Podremos despejar v, quedando:
v=

GM
r

Velocidad de escape: Es la velocidad m´ınima que debe ser suministrada a un
cuerpo para queescape a la atracci´on gravitatoria de un planeta. Teniendo en cuenta
GMm
que en la superficie de dicho planeta, la energ´ıa potencial del cuerpo es −
,y
r
que en el infinito, tanto la energ´ıa cin´etica como la potencial son nulas, tendremos,
en aplicaci´on del Principio de Conservaci´on de la Energ´ıa:
GMm 1 2
+ mve = 0
r
2
De donde, despejando, obtenemos:
−

ve =

2GM
r

51.2. PROBLEMAS RESUELTOS.

Energ´ıa de una ´
orbita: La energ´ıa de una ´orbita, suma de las energ´ıas cin´etica y
potencial es:
GMm 1 2
E=−
+ mv
r
2
Sustituyendo la velocidad por la expresi´on obtenida antes, v =
E=−

GM
, tendremos:
r

GMm GMm
GMm
+
=−
r
2r
2r

De aqu´ı podemos comprobar que el valor de la energ´ıa cin´etica es la mitad del valor
absoluto de la energ´ıapotencial.

1.2.

Problemas resueltos.

1.- Un sat´elite de 1000 kg de masa gira alrededor de la Tierra con un periodo de 12
horas. (Datos: G = 6, 67 · 10−11 en unidades S.I; masa de la Tierra = 5, 98 · 1024 kg).
Calcular
1.a.- El radio de giro.
1.b.- La velocidad del sat´elite.
1.c.- Su energ´ıa total.

Soluci´
on:
1.a.- El radio de giro puede obtenerse a partir de la tercera ley...