greedy

CODIGOS DE HUFFMAN

Definición : La codificación de Huffman es una técnica para la compresión de datos, ampliamente usada y muy efectiva

Ejemplo : Archivo con 100,000 caracteres. Se sabe que aparecen 6 caracteres diferentes y la frecuencia de aparición de cada uno de ellos es :


a
b
c
d
e
f
Frecuencia
( en miles )
45
13
12
16
95

¿ Cómo codificar los caracteres para comprimir el espacio ocupado utilizando un código binario ?

Solución 1 : Código de longitud fija
Para 6 caracteres se necesitan 3 bits (300000 bits)

a
b
c
d
e
f

Frecuencia
( en miles )
45
13
12
16
9
5

Fija
000
001
010
011
100
101



Solución 2 : Código de longitudvariable en el que los más frecuentes tienen el código más corto. Restricción : ningún código es prefijo de otro.
( 224000 bits )



a
b
c
d
e
f
Frecuencia
( en miles )
45
13
12
16
9
5
Variable
0
101
100
111
1101
1100


Esta técnica de codificación se denomina código prefijo.
Codificación : Basta con concatenar elcódigo de cada uno de los caracteres.
Ejemplo :
aabacd  001010100111 001010100111

Descodificación : Fácil porque ningún código es prefijo de otro código  NO hay ambigüedad.
Ejemplo :
101011101111011100  badadcf
¡ Es la única posibilidad !

Un árbol binario es una forma de representar el código prefijo que simplifica el proceso de descodificación :

las hojas son loscaracteres,

el camino de la raíz a la hojas con la interpretación 0 a la izquierda y 1 a la derecha nos da el código de cada hoja.

Este sería el árbol binario de la codificación de longitud fija:










Y éste el de la codificación de longitud variable :














Dado T el árbol binario que corresponde a una codificación prefijo, es fácil averiguar el número debits necesarios para codificar el archivo :
Para cada carácter c diferente del alfabeto C que aparece en el fichero,
sea f(c) la frecuencia de c en la entrada,
sea dT(c)la profundidad de la hoja c en el árbol T, entonces el número de bits requeridos es :

B(T) =  f(c) dT(c)
c C
B(T) nos da el coste de T.

Algoritmo Greedy
Huffman inventó un algoritmo voraz que construye unacodificación prefijo óptima.
Construye un árbol binario de códigos de longitud variable de manera ascendente de modo que [MIN] B(T).

Ejemplo de funcionamiento
Fase 1. : Caracteres colocados en orden creciente de frecuencia.



Fase 2. y posteriores : Fusionar hasta obtener un sólo árbol manteniendo la ordenación creciente.Implementación del algoritmo
Se usa una cola de prioridad, Q, con clave la frecuencia lo que permite seleccionar los dos objetos de la cola con la frecuencia más baja.
El resultado de fusionar dos objetos es un nuevo objeto cuya frecuencia es la suma de frecuencias de los dos objetos fusionados.función COD_HUF ( C es conj_ )
{ Pre : C está bien construido y no es vacio }
n := C;
CO:= ordenar_crec_por_frec(C) ;
/* se ordena crecientemente por frecuencia el conjunto de caracteres de la entrada */
Q := Insertar_todos (CO);
/* la cola contiene todos los elementos */
Para i=1 hasta n-1 hacer
z:= crear_objeto();
/* elección de los candidatos */
x := izq(z) := primero(Q);Q:= avanzar(Q);
y:= der(z) := primero(Q); Q:= avanzar(Q);
frec[z] := frec[x] + frec[y];
/* actualizar solución */
Q:= insertar_ordenado ( Q, z);
fpara
{ Post : Q contiene un único elemento que es un árbol de codificación de prefijo óptimo }
dev ( primero(Q))
ffunción
Demostración de optimalidad del criterio
Sea T un árbol binario de codificación óptimo.
Sean b y c dos...