green stokes





TEOREMA DE GREEN
Sea un camino en 2, regular a trozos, cerrado y simple, que recorre una curva de Jordan Γ con orientación positiva. Sea Dla región interior a Γ y F: Ω→ 2 un campo vectorial de clase C 1 en un abierto Ω 2 tal que D Γ Ω. Entonces, la integral de línea de F a lo largo del camino coincide con la integral doble sobre Ddel rotacional escalar de F:

Más explícitamente, si F = (P,Q) en Ω, el teorema se afirma que:

Es costumbre usar una notación que permite recordar con facilidad las hipótesis del teoremaanterior. Puesto que la curva de Jordan Γ coincide con la frontera del dominio D, Γ = D, resulta sugestivo denotar al camino por D+ para resaltar que dicho camino recorre la curva D y está orientadopositivamente. La fórmula de Green toma entonces la siguiente forma

Donde también hemos modificado el símbolo de la integral de línea para resaltar que el camino es cerrado.








Ejemplos:TEOREMA DE STOKES
Sea γ un camino en 2, regular a trozos, cerrado y simple, que recorre una curva de Jordan Γ con orientación positiva. Consideremos el recinto W cuya frontera es Γ y sea Φ : W → 3una parametrización de clase C2 de la superficie S = Φ(W). Sea finalmente F : Ω → 3 un campo vectorial de clase C1 en un subconjunto abierto Ω de 3 que contenga a la superficie S. Entonces, laintegral de línea del campo F a lo largo del camino Φ◦γ coincide con la integral de superficie del rotacional de F con respecto a la parametrización Φ:

Como ocurría con la Fórmula de Green, la igualdadanterior, al menos en los casos que más interesan en la práctica, puede escribirse con una notación que ayuda a entender su significado al tiempo que nos permite recordar con más facilidad las hipótesisdel teorema. Para explicarlo con detalle, trabajaremos por separado con los dos miembros de la igualdad.
El camino Φ ◦γ : [a,b] → S está definido en el mismo intervalo que γ, digamos [a,b], y viene...