green

Páginas: 3 (599 palabras) Publicado: 18 de junio de 2014
PROBLEMAS DE TEOREMA DE GREEN


ENUNCIADO DEL TEOREMA

Sea C una curva simple y cerrada, suave a trozos y orientada positivamente, y sea F(x;y) = (P;Q) un campo vectorial cuyas funcionescoordenadas tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a la región D acotada por C. Entonces:




PROBLEMAS RESUELTOS

1) Transformación de una integral de línea enuna de área. Evaluar , donde C es la curva triangular que une los puntos (0;0), (0;1) y (1;0), orientada positivamente.

Solución:

La gráfica indica la región encerrada por la curva C. Tenemos:Por lo tanto:



Nótese que si hubiéramos hecho la integral de línea habríamos tenido que hacer 3 integrales con las correspondientes parametrizaciones.

2) Determinación de un áreamediante una integral de línea. Determine el área de la región limitada por la hipocicloide que tiene la ecuación vectorial

r(t) = cos3t i + sen3t j , 0  t  2

Solución:

De la parametrizaciónde la curva tenemos:

x = cos3t  x2/3 = cos2t
y = sen3t  y2/3 = sen2t

Sumando miembro a miembro tenemos:



Este cálculo, ejecutado como integral de área, es muy complicado. El teorema deGreen nos permite transformar esta integral en una de línea, usando como trayectoria la hipocicloide del enunciado y definiendo una función apropiada para la integración. Veamos:

El área de unaregión D viene dada por . Por lo tanto, para aplicar Green deberíamos encontrar funciones P, Q / . Un par de funciones sencillas que cumplen esta condición son P = 0, Q = x. Si recordamos laparametrización, escribimos:

x = cos3t  dx = -3 cos2t sent dt
y = sen3t  dy = 3 sen2t cost dt

Luego:



De esta manera contamos con una herramienta más para obtener el área de la región encerradapor una curva cerrada, que se suma al método en coordenadas polares visto en Análisis II y al cálculo por integral de área que ejecutamos cuando tenemos la expresión cartesiana de la curva.

3)...
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