greori y los problemas de hilbertin

Grigori "Grisha" Yákovlevich Perelmán Barbonsky (en ruso: Григорий Яковлевич Перельман), nacido el 13 de junio de 1966 en Leningrado, URSS (actualmente San Petersburgo, Rusia), es un matemático ruso que ha hecho históricas contribuciones a la geometría riemanniana y a la topología geométrica. En particular, ha demostrado la conjetura de geometrización de Thurston, con lo que se ha logradoresolver la famosa conjetura de Poincaré, propuesta en 1904 y considerada una de las hipótesis matemáticas más importantes y difíciles de demostrar.
El problema
Artículo principal: Conjetura de Poincaré.
La conjetura de Poincaré, propuesta por el matemático francés Henri Poincaré en 1904, era el problema abierto más famoso de la topología. En términos relativamente sencillos, la conjetura indica quesi una variedad tridimensional cerrada es suficientemente similar a una esfera en el sentido de que cada bucle en la variedad se puede transformar en un punto, entonces se considerará que es realmente sólo una esfera tridimensional. Por algún tiempo se ha sabido que el resultado análogo es cierto en dimensiones mayores; sin embargo, el caso de variedades tridimensionales ha resultado ser el másdifícil de todos porque, hablando coloquialmente, cuando se manipula topológicamente una variedad tridimensional, hay muy pocas dimensiones para mover "regiones problemáticas" fuera del camino sin interferir con algo más.
Demostración de perelman
Perelmán modificó el programa de Richard Hamilton para la demostración de la conjetura, en el cual la idea central era la noción del flujo de Ricci. Laidea básica de Hamilton es formular un "proceso dinámico" en el que una variedad tridimensional dada se transforme geométricamente, de manera que este proceso de distorsión sea gobernado por una ecuación diferencial análoga a la ecuación del calor. La ecuación del calor describe el comportamiento de cantidades escalares como la temperatura; ella afirma que las concentraciones de temperatura elevadase dispersarán hasta que se alcance una temperatura uniforme a lo largo del objeto. Similarmente, el flujo de Ricci describe el comportamiento de una cantidad tensorial, el tensor de curvatura de Ricci. La esperanza de Hamilton era que, bajo el flujo de Ricci, las concentraciones de gran curvatura se dispersaran hasta alcanzar una curvatura uniforme sobre toda la variedad tridimensional. Si estoes así, comenzando con cualquier variedad tridimensional y si se usa la magia del flujo de Ricci, finalmente se obtendría cierta "forma normal". De acuerdo con William Thurston, esta forma normal debe ser una entre un pequeño número de posibilidades, cada una con un diferente sabor de geometría llamado geometrías de modelos de Thurston.
Esto es similar a formular un proceso dinámico que "perturba"gradualmente una matriz cuadrada dada y que, con toda certeza, resultará luego de un tiempo finito en su forma canónica racional.
La idea de Hamilton había atraído mucha atención pero nadie había logrado demostrar que el proceso no se "colgaría" desarrollando "singularidades"... hasta que los artículos de Perelmán bosquejaron un programa para superar estos obstáculos. De acuerdo con Perelmán,una modificación del flujo de Ricci estándar, llamado flujo de Ricci con cirugía, puede remover sistemáticamente regiones singulares a medida que se desarrollan, de manera controlada.
Se sabe que las singularidades (incluyendo las que se producen, hablando vagamente, luego de que el flujo se haya dado durante una cantidad infinita de tiempo) deben ocurrir en muchos casos. Sin embargo, losmatemáticos esperan que, asumiendo que la conjetura de geometrización sea cierta, cualquier singularidad que se desarrolle en un tiempo finito esencialmente se está "apretando" a lo largo de ciertas esferas que corresponden a la descomposición en primos de la 3-variedad. Si esto es así, cualesquiera singularidades de "tiempo infinito" deben resultar de ciertas piezas colapsantes de la descomposición...