Grupos matriciales

Grupos Matriciales
Pablo De Caria, Laura P. Schaposnik M.
Facultad de Ciencias Exactas, Universidad Nacional de La Plata

10 de agosto de 2007
Resumen
Estudiaremos en este trabajo dos clases particulares de grupos: los matriciales y aquellos que
surgen como cociente de ellos. En este proceso trataremos varias de las propiedades que los diferencian
de cualquier otro tipo de grupos.
Se discutir´anpropiedades generales de grupos matriciales, especialmente del grupo lineal general
-general linear group- que consiste de todas las matrices invertibles de un cierto orden sobre un
cuerpo dado, y sus “grupos cl´asicos” asociados. Consideraremos, luego, ciertos grupos matriciales
particulares y estudiaremos sus propiedades.

´Indice
1. Introducci´
on
1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . .. .
1.2. El espacio vectorial de matrices Mn,m (K)
1.2.1. Definici´on de una norma . . . . . .
1.2.2. Definici´on de una m´etrica . . . . .

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2. Grupos Matriciales
2.1. Grupos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Grupos reducibles y descomponibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Grupos lineales especiales y generales
3.1. Grupo lineal general . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Subgrupos de GLn (K) . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Teoremas de Sylowy el grupo lineal general .
3.1.3. El par BN y los subgrupos parab´olicos . . . .
3.2. Grupo lineal especial . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Grupos lineales proyectivos . . . . . . . . . .
3.2.2. Transvecciones . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3. Teoremas de Sylow y el grupo lineal especial

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4. Algunos grupos lineales particulares
4.1. Grupo de matrices triangulares superiores
4.2. Grupos afines . . . . . . . . .. . . . . . .
4.3. Grupos ortogonales . . . . . . . . . . . . .
4.3.1. Subgrupo ortogonal especial . . . .

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5. Grupos de Lie
5.1. Espacios tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Los grupos matriciales como grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. La funci´on exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6. Ap´
endice
6.1. Operaciones de grupos . . . . ..
6.1.1. Proyecci´on al hiperplano .
6.1.2. Producto semi-directo . .
6.2. Formas sobre espacios vectoriales
6.2.1. Formas bilineales . . . . .
6.2.2. Formas Hermitianas . . .
6.3. Representaci´on de grupos . . . .
6.4. producto de kronecker . . . . . .

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4.5.
4.6.

4.7.

1.

4.3.2. Grupo de isometr´ıas . . . . . . . . . .
4.3.3. Grupos ortogonales generalizados . ..
Grupos simpl´ecticos . . . . . . . . . . . . . .
Grupos unitarios . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1. Grupo unitario especial . . . . . . . .
Grupos matriciales finitos . . . . . . . . . . .
4.6.1. S = SL2 (Fq ) . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2. G = GL2 (Fp ) . . . . . . . . . . . . . .
4.6.3. Grupos de matrices finitos en GL(n,Z)
Grupos matriciales finitamente generados . .

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