grupos puntuales cristalografia

GRUPOS PUNTUALES
Existen algunas relaciones entre elementos de simetría que pueden ser útiles a la hora de
deducir cuales son los conjuntos de estos que forman grupo.
1.- Todos los elementos de simetría de un grupo finito se han de cortar en un único punto, y si
hay centro de inversión, este es el punto común.
De hecho, si no se cortaran en un único punto, el grupo de simetría no seríafinito, porque la
aplicación sucesiva de elementos de simetría sin un punto común generaría una figura
infinita.
2.- Si hay un eje de simetría de orden par y un plano
de simetría perpendicular, en la intersección se genera
un centro de inversión. Y supuesta la existencia de dos
de estos elementos, se deduce el tercero
Supongamos un eje de orden 2 y un plano m
perpendicular. La figura P0 serelaciona con la P1 por
el giro del eje binario, y esta con la P2 por la reflexión
del plano m. A la vez, las figuras P0 y P2 están
relacionadas por un centro de inversión situado en la
intersección de 2 y m. Y la simétrica de P2 por el eje binario (P3) se relaciona con P0 por el
plano m y con P1 por el centro.
3.- Si un grupo solo tiene un eje de simetría, cualquier plano de simetría del grupoha de ser
necesariamente perpendicular o contener el eje.
Si no fuera así i existiera un plano formando un cierto ángulo diferente de 90º con el eje, la
aplicación del plano generaría un segundo eje simétrico del anterior y formando el mismo
ángulo con el plano.
4.- Si un plano de simetría contiene un eje de orden n, existen n planos que contienen el eje
formando entre ellos ángulos de

π.
n

Se sugiere al estudiante comprobar gráficamente en cada uno
de los casos posibles: dibujar el trazo de un plano de simetría
y un eje de orden n incluido en el. Dibujar una figura
relativamente asimétrica (una F, por ejemplo) y aplicar la
simetría del plano m y del eje hasta que no aparezcan otras Fs.
Entonces, comprobar la existencia de otros planos de simetría
del conjunto de Fs.El ejemplo corresponde a un plano m y un
eje binario.

5.- Existe un número limitado de formas de combinar diversos ejes de simetría en un grupo
puntual. Supongamos un grupo que contiene solo ejes de simetría, que si se alargan hasta
intersectar una esfera con centre en el punt común a
todos los ejes, determinaran una serie de puntos, los
cuales formaran triángulos esférico que llenaran todala
superficie de la esfera.

Parece lógico pensar que los ángulos estarán
relacionados con el orden del eje de aquel punto, dado
que el conjunto ha de ser simétrico entre los propios
ejes, de manera que en general se puede decir que

αi = π n
i
En geometría esférica, la suma de los ángulos de un triangulo ha de ser superior a 180º, y por
tanto

α1 + α 2 + α 3 > π y

π

n1 +

πn2 +

1

1

n2 +

1

n2 > 1

dividiendo por π,

n1 +

π

n2 > π

Las únicas soluciones de esta ecuación son
n1 cualquiera n2=n3=2; n1=2, n2=n3=3; i n1=4, n2=3, n3=2

además de la solución 5, 3, 2, que no tiene sentido en los medios periódicos porqué no hay
ejes de orden 5.
Por tanto, las posibles combinaciones de ejes son 222, 322, 422, 622, 432, 332 (esto NO
SONnecesariamente notaciones de grupos puntuales).
Grupos de operaciones de simetría
La simetría de un cristal no ha de incluir necesariamente todos los elementos de simetría
posibles, sino únicamente algunos de estos, que además, han de ser compatibles entre ellos, la
cual cosa quiere decir que tengan estructura de grupo.
Por eso han de cumplir algunas condiciones:
- que sea cerrado, es decir quela aplicación (producto) de dos de las operaciones de simetría
no genere una tercera que no sea del grupo. Por ejemplo, un eje binario y un plano de simetría
perpendicular no forman grupo porqué al aplicar las operaciones del giro binario (180º) y la
reflexión, se genera un centro de inversión. Es decir, el centro de inversión aparece como
consecuencia de la existencia del eje binario y el...