Grupos y semigrupos(matematica)

GRUPOS Y SEMIGRUPOS

Isomorfismo entre dos semigrupo
Si es un homomorfismo biyectivo, entonces su inverso es también un homomorfismo, y se llama un isomorfismo de retículos. Los dos retículos implicados son entonces isomorfos; para todos los propósitos prácticos, son iguales y se diferencian solamente en la notación de sus elementos.

Homomorfismo entre dos semigrupo
Unhomomorfismo biyectivo cuya inversa es también un homomorfismo se llama isomorfismo. Dos objetos isomorfos son totalmente indistinguibles por lo que a la estructura en cuestión se refiere.

Teorema Fundamental de los homomorfismos entre semigrupos
En álgebra abstracta, para un número de estructuras algebraicas, el teorema fundamental de homomorfismos relaciona la estructura de dos objetos entrelos cuales se dé unhomomorfismo, y del núcleo y de la imagen del homomorfismo.
En la teoría de grupos, el teorema establece lo siguiente:
Si  es un homomorfismo de grupos y N es un subgrupo normal de G contenido en el núcleo de f, entonces existe un único homomorfismo  tal que , en donde  es la proyección canónica.

Relación de congruencia módulo n en Z
En la aritmética modular puede serconstruida matemáticamente mediante la relación de congruencia entre enteros, que es compatible con las operaciones en el anillo de enteros: suma, resta, y multiplicación. Para un determinado módulo n, ésta se define de la siguiente manera a y b se encuentran en la misma "clase de congruencia" módulo n, si ambos dejan el mismo resto si los dividimos por n, o, equivalentemente, si a − b es unmúltiplo de n.
Esta relación se puede expresar cómodamente utilizando la notación de Gauss

Así se tiene por ejemplo
63 es congruente con 83, módulo 10», o «63 y 83 son congruentes uno con otro, módulo 10

Clases de equivalencias
Se define subconjuntos disjuntos en K llamados clases de equivalencia de la siguiente manera: Dado un elemento, al conjunto dado por todos los elementosrelacionados con a:

Se le llama la clase de equivalencia asociada al elemento a. Al elemento a se le llama representante de la clase.
Se llama orden al número de clases que genera una relación de equivalencia; si éste es finito, se dice que la relación es de orden finito.
El concepto de clase de equivalencia tiene importancia en ciencia, dado un conjunto de objetos o entidadesabstractas (potencialmente infinitas), pueden establecerse relaciones de equivalencia en base a algún criterio, las clases resultantes son los "tipos" en los que se puede clasificar toda la gama de objetos.

Grupo
En álgebra abstracta, un grupo es un conjunto en el que se define una operación binaria (i.e.un magma), que satisface ciertos axiomas detallados más abajo. La rama de la matemáticaque estudia los grupos se llama teoría de grupos.
Sea una estructura algebraica formada por un conjunto A, sobre cuyos elementos se ha definido una operación o ley de composición interna binaria denotada por "". Se dice que la estructura  es un grupo con respecto a la operación  si satisface las siguientes propiedades:

* Operación interna: para cualesquiera dos elementos delconjunto A operados bajo , el resultado siempre pertenece al mismo semigrupo A. Es decir:

* Asociatividad: para cualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos (vergrupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Es decir:

* Con elemento neutro. Para todo elemento x que pertenezca alconjunto A, existe un único elemento e de A, que cumple:

* Con elemento simétrico respecto de la operación , si se cumple:

Grupo Abeliano
Dada una estructura algebraica sobre un conjunto A, y con una operación o ley de composición interna binaria: "". Se dice que la estructura  es un Grupo abeliano con respecto a la operación  si:
*  tiene estructura algebraica Grupo
*  tiene...