Gráficas

LÍMITES Y
CONTINUIDAD
D

LÍMITES Y CONTINUIDAD
En este capítulo aprenderemos a obtener el límite de las funciones y, sobre todo,
cómo graficar cualquier función racional mediante las estrategias propuestas,
únicas y desarrolladas para este libro. Finalizaremos el tema con la continuidad de
las funciones y de sus gráficas.
3.1 Límite de una sucesión.
3.2 Límite de una función devariable real.
3.3 Cálculo de límites.
3.4 Propiedades de los límites.
3.5 Límites laterales
3.6 Límites infinitos y límites al infinito.
3.7 Asíntotas.
3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo.
3.9 Tipos de discontinuidades.

Antecedentes
El origen de los límites se remonta hasta los antiguos griegos, que usaban los límites
para calcular áreas; por ejemplo, siquerían conocer el área de figuras amorfas las
descomponían en triángulos muy pequeños, de modo que los triángulos ocuparan
la totalidad de la figura. Luego sumaban el área individual de cada triángulo para
tener una aproximación del área total de la figura; es decir, cuando el límite de los
triángulos abarcara la totalidad de la figura.
Los límites se usan de manera cotidiana y son, de hecho,los que nos rigen y hacen
posible que nuestra sociedad no sea anarquista; por ejemplo, la prueba de
alcoholemia nos dice si una persona está capacitada en ese momento para operar
un vehículo automotor, ya que mide la cantidad de alcohol por cada litro de sangre.
Esta situación se determina mediante una medición y se compara con un estándar
que establece que el límite permitido no se puederebasar o habrá consecuencias
graves. El individuo cree estar bien; sin embargo, si se rebasan los límites
establecidos la persona pierde el sentido del equilibrio, y por lo tanto de la realidad,
lo que lo convierte en un potencial peligro para sí mismo, para los que viajan con él
y para los demás conductores.
Otro ejemplo es la Ley de la Secretaría del Trabajo y Previsión Social, que enuncia
encada artículo los deberes y obligaciones tanto de los patrones como de los
obreros; establece límites para que cada uno se conduzca dentro de la misma
empresa con la mejor disponibilidad para lograr un bien común. Si cualquiera de
ellos se sale de esta normatividad hay consecuencias indeseables, como las
huelgas, las declaraciones de quiebra, o serios accidentes que pueden costar hasta
lavida. Inclusive, en el hogar, los padres imponen límites que no se deben pasar,
pues de ello depende la armonía y las relaciones intrafamiliares. Los límites se
utilizan a diario en la producción, ya que para generar bienes y servicios se cuenta
con recursos que las más de las veces no son ilimitados; es decir, se tiene
determinada cantidad de ellos, y esos recursos se deben aprovechar lo mejorposible para que la productividad de la empresa se incremente; de lo contrario, la
empresa no obtiene ganancias y podría ir a la quiebra. Sin embargo, a veces se
pasan por alto todas estas situaciones y no se le encuentra utilidad a los límites.
Matemáticamente, un límite es importante porque nos ayuda a entender la
tendencia de una función, y las funciones nos ayudan a entender cómo secomportan los fenómenos de la vida cotidiana o empresarial para estudiarlos de una
manera más sencilla; veamos un ejemplo.
Se sabe que el precio de un disco duro a través del tiempo t (en meses) está dado
por la función:
𝑎𝑡 + 250
𝑃(𝑡) =
𝑡+𝑏

Si sabemos que el próximo mes el precio de este artículo será de $1,400.00 y al
siguiente será de $1,250.00; determina:
a)
b)
c)
d)

El precio delartículo para este mes.
En qué mes el precio será de $800.00.
Qué ocurrirá con el precio a lo largo de 28 meses.
Qué ocurrirá con el precio a través del tiempo.

Esto se puede resolver con ayuda de los límites y otros conocimientos de álgebra.
La parte más interesante es cuando queremos contestar los incisos c y d cuyas
expresiones matemáticas quedan de la siguiente manera:
𝑐) lim P(t)...