Guía álgebra lineal

GUIA 5
1. Encuentre un conjunto generador de W = (x; y; z) 2 R3 : x y + z = 0 :
8
99
x + 2y z + w = 0 ==
<
2x + y + z w = 0
2. Sea W = (x; y; z; w) 2 R4 :
: Encuentre un
:;;
x + 7y 2z + 5w = 0
conjunto de vectores que generen a W.
3. Dado el plano W = (a; b; 0) 2 R3 : a; b 2 R ; determinar un conjunto de
vectores que generen a W.

4. Estudiarla dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos
de vectores en R3 y P2 (R) :
(a) S = f(0; 1; 0); (1; 1; 1); ( 1; 0; 1)g

(b) S = f(0; 0; 1); (1; 1; 0); (1; 0;0)g

(c) S = f(1; 0; a); (a; 1; 0); (0; a; 1)g

(d) S = f(1; 0; a); (a; 1; 0); (a; 0; 1)g
(e) S= 1; 1 + x; 1 + x + x2
(f) S= x; x2 ; x + x2
(g) S= 1

x2 ; 1 + x; x2

x; x +x2

(h) S= 1 + x2 ; 2 + x2
5. Sea W1 =

(x; y; z; w) 2 R4 :

x+y w =0
x z + 2w = 0

y W2 = (x; y; z; w) 2 R4 : x

w=0

dos subespacios de R4 :
(a) Encontrar base ydimensión para W1 ; W2 ; W1 \ W2 ; W1 + W2 :

(b) Veri…que dim(W1 + W2 ) = dim W1 + dim W2

dim(W1 \ W2 ):

6. Exhibir o encontrar dos bases y determinar la dimensión para cadauno
de los siguientes subespacios de R4 :
(a) V = f(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; ) : x1 = x2 = x3 = x4 g

(b) W = f(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; ) : x1 = x2 y x3 = x4 g
(c) U = f(x1 ; x2 ; x3 ; x4; ) : x1 = x2 = x3 g

(d) S = f(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; ) : x1 + x2 + x3 + x4 = 0g
7. Muestre que B1 = f(1; 1; 0); (2; 0; 3); ( 1; 1; 0)g y B2 = fe1 = (1; 0; 0); e2 = (0; 1; 0); e3 =(0; 0; 1)g
son una bases para R3 :
8. Pruebe que T : R ! R de…nida por T (x) = ax; con a 2 R;es una transformación lineal.

1

9. Pruebe que T : R2 ! R3 de…nida por T (x; y) =(x
transformación lineal.
x
10. Pruebe que T : R2 ! R3 de…nida por T
y
transformación lineal.

2

y; 2x; x + 2y); es una
2

x

3

= 4 2x y 5 ; es una
3x + 4y