Guía 4 Matemática

Universidad de Talca
Instituto de Matem´
atica y F´ısica

Matem´
aticas I (IIE)
15 de abril de 2015

Gu´ıa N◦4 - Unidad 2
1. En los siguientes ejercicios, encuentre
(a) A + B
(b) A − B
(c) 2A
�
�
�
�
1 −1
2 −1
1. A =
B=
2 −1
−1 8
�
�
�
�
1 2
−3 −2
2. A =
B=
2 1
4
2
�
�
�
�
2
1 1
2 −3 4
3. A =
B=
−1 −1 4
−3 1 −2




3
−4



2
6 
4. A =
B=
−1
2

(d) 2A − B

2. Encuentre a) c21 y b) c13 ,donde C = 2A − 3B y
�
�
�
�
5 4 4
1 2 −7
A=
B=
−3 1 2
0 −5 1
3. Encuentre a) c23 y b) c32 , donde C

4

0
A=
−3

= 5A + 2B y



11 −9
1 0 5
3
2  B =  −4 6 11 
1
1
−6 4 9

4. En los siguientes ejercicios, encuentre a) AB y b) BA (si es que est´an definidos).




2 1
0 −1 0
(a) A =  −3 4  B =  4 0 2 
8 −1 7
1 6




0 −1 0
2
(b) A =  4 0 2  B =  −3 
8 −1 7
1


�
�
−1 3
1 2
(c)A =  4 −5  B =
0 7
0
2




1 0 0
3 0 0
(d) A =  0 4 0  B =  0 −1 0 
0 0 −2
0 0 5




0 0 5
6 −11 4
(e) A =  0 0 −3  B =  8 16 4 
0 0 4
0
0
0




6
 −2 
�
�

(f) A = 
 1  B = 10 12
6
�
�
�
�
1 0 3 −2 4
1 6
(g) A =
B=
6 13 8 −17 20
4 2
5. En los siguientes ejercicios, efect´
ue las operaciones indicadas, dado que a = 3, b = −4 y
�
�
�
�
�
�
1 2
0 1
0 0
A=
B=
0=
3 4
−1 2
00
(a) aA + bB

(c) ab(B)

(b) (A + B)

(d) (a + b)B

(e) (a − b)(A − B)
(f) (ab)0

6. En los siguientes ejercicios, efect´
ue las operaciones indicadas y encuentre la matriz X:


(a) 3X + 2A = B


−4 0
A =  1 −5 
−3 2

(b) 2A − 5B = 3X




1 2
B =  −2 1 
4 4

(c) X + 2B = 3A

(d) 6X = 4A + 3B

7. En los siguientes ejercicios, efect´
ue las operaciones indicadas, dado que
�
�
�
�
1 2
1 0A=
I=
0 −1
0 1
(a) A2

(b) A4

(c) A(I + A)

(d) A + IA

8. Compruebe que (AB)t = B t At para las matrices siguientes.


�
�
−3 0
−1 1 −2
2 
A=
B= 1
2 0 1
1 −1
9. Compruebe que (AB)t = B t At para las matrices siguientes.
�
�
�
�
1 2
−3 −1
A=
B=
0 −2
2
1
10. En los siguientes ejercicios, use las siguientes matrices.



1
X= 2 
3




1
Y = 0 
2




1
Z= 4 
4




0
W = 0 
1

(a)Encuentre los valores de a y b tales que Z = aX + bY

(b) Muestre que no existen valores de a y b tales que W = aX + bY
(c) Encuentre los valores de a, b y c tales que aX + bY + cZ = 0




0
0= 0 
0

11. En los siguientes ejercicios, aplique la siguiente definici´on para determinar f (A) : Si f es la
funci´on polinomial definida por
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn
entonces para unamatriz A de n × n, f (A) se define como

(a)
(b)
(c)
(d)

f (A) = a0 In + a1 A + a2 A2 + ... + an An
�
�
2 0
2
f (x) = x − 5x + 2, A =
4 5
�
�
5 4
2
f (x) = x − 7x + 6, A =
1 2


3 1 4
f (x) = x3 − 10x2 + 31x − 30, A =  0 2 6 
0 0 5
�
�
8 −4
f (x) = x2 − 10x + 24, A =
2 2

12. Dadas las matrices:

A=

�

−2 −1 2
4
2 −7

�

B=

�

1 1 2
0 3 −1

�




−1 2
5
C =  11 −3 −4 
2 −1 3

(a) Calcular:A − 3B, AAt , AB t , BAt , AC, CA y C(A + B)t .

(b) Sea D = AB t . Calcular D − D2 + D3 .

(c) Hallar la matriz X tal que A − 2X = 3B.

13. determine dos matrices cuadradas X e Y de orden 2 que satisfacen el siguiente sistema lineal:
�
�
�
�
�
2X − 5Y = A
1 −2
2 1
con A =
B=
−X + 3Y = B
0 1
3 0
14. Dadas las matrices A y B de orden n. ¿Bajo que condiciones se verifican las siguientesigualdades?
(a) (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2

(b) (A + B)(A − B) = A2 − B 2

15. Una matriz cuadrada Ase dice sim´etrica s´ı y s´olo s´ı At = A y se dice antisim´etrica s´ı y s´
olo
s´ı At = −A.
(a) Encuentre una matriz sim´etrica y una antisim´etrica de 3 × 3

(b) Sean A y B matrices sim´etricas ¿es AB sim´etrica? justifique.
(c) Suponga que A y B conmutan y son tales que A es sim´etrica y B antisim´etrica.Demuestre que AB es antisim´etrica.
16. Resolver la ecuaci´
on matricial para X de 2 × 2; 2X + At = A + B 2 , donde
�
�
�
�
2 1
3 1
A=
B=
1 0
1 2

17. Hallar todas las matrices de 2 × 2 que conmuten con


�

1 −1
0 2

�

.


3 −2 1
2 3  como suma de una matriz sim´etrica y una anti18. Escribir la matriz A =  5
−1 6 2
sim´etrica.
�
�
3 1
19. Verifique que la matriz X =
es soluci´on de la...