guía de estudios

Universidad Alberto Hurtado
Guía de Desigualdades
Profesor: Marcelo Leseigneur
Ayudantes: Renzo Luttges. Javier Orrego

1. Dados

a,b,c,d,x,y ,z

y

w

son números reales positivos,pruebe las siguientes desigualdades:

a)

Si

x+y =2

b)

Si

xyz = 1

entonces

c)

Si

xyz = 1

entonces x

d)

Si

x+y+z =1

e ) ( a+b+c )3
3

entonces

xy ≤ 1x+y+z ≥3
1

+

1
y

+
1

entonces x

1
z

+

≥3
1
y

+

1
z

≥9

≥ abc

f ) (a + b + c + d)4 ≥ 256abcd
g ) (x + y)(x − y)2 ≥ 0
h ) x3 + y 3 ≥ x2 y + xy 2
i ) x4 + y 4 ≥x3 y + xy 3 ≥ 2x2 y 2
j ) x5 + y 5 ≥ x4 y + xy 4 ≥ x3 y 2 + x2 y 3
k) x +
l) x
y
m) x
y

+
+

1
x
y
z
x
z

≥2
+
+

z
x
y
z

≥3
+

y
x

+

z
x

z
y

+

≥6n ) xy(x + y) + yz(y + z) + zx(z + x) ≥ 6xyz
ñ)

y
z

+w ≥4
x
√
√
√
o ) a + b + c ≥ bc + ca + ab
√
√
√
√
√
√
√
p ) 3(a + b + c + d) ≥ 2( ab + ac + ad + bc + bd + bd + cd)
x
y

++

z
w

q ) (x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz
r ) [(x + y)(x + z)(x + w)(y + z)(y + w)(z + w)]2 ≥ 4096(xyzw)3
s)

Si

x+y+z =1

entonces

(1 − z)(1 − x)(1 − y) ≥ 8xyz

t)

Six+y+z =1

entonces

1
1
1
( x − 1)( y − 1)( z − 1) ≥ 8

u ) (y + z + w)(x + z + w)(x + y + w)(x + y + z) ≥ 81xyzw
v)

Si

x+y+z+w =1

entonces

(1 − x)(1 − y)(1 − z)(1 − w) ≥ 81xyzw

w) (ab + xy)(ax + by) ≥ 4abxy
x ) [(ab + cd)(ac + bd)(ad + bc)]2 ≥ 64(abcd)3
y)

Si

x + y = 1,

entonces

x2 + y 2 ≥

2. Dados los números positivos

a,b

1
2

y c, pruebe que:(a2 b + b2 c + c2 a)(a2 c + b2 a + c2 b) ≥ 9a2 b2 c2
Se cumple para todo

a,b

y c?

1

3. Muestre que si

a1 ,a2 ,...,an

son números positivos entonces:

a2
a3
an−1
an
a1
+
++ ... +
+
≥n
a2
a3
a4
an
a1
4. Sean

a,b,x

e

y

números reales tal que

a2 + b2 = 1

y

x2 + y 2 = 1.

Muestre que:

a ) (ax + by)2 ≤ 1
b ) (ax − by)2 ≤ 1
c ) −1 ≤ ax +...