Guía de métodos numéricos

Métodos Numéricos
(Guía del examen especial)
Autor:
Noe Salvador Reyes

Supervisor(es):
Noe Salvador

1

1.

Aproximaciones y errores de redondeo
1. Escribir las siguientes definiciones:
a) ¿Qué son los métodos numéricos?
b) Escriba 5 razones para estudiar métodos numéricos en la ingeniería.
c) Cifras significativas.
d) Exactitud y precisión.
e) Error verdadero.
f ) Errorrelativo fraccional verdadero.

Solución:
a) Los métodos numéricos constituyen técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de
tal forma que puedan resolverse utilizando operaciones aritméticas.
b) 1) Son capaces de manipular sistemas de ecuaciones grandes, maneja no linealidades y resolver geometrías complicadas, comunes en la práctica de la ingeniería y, amenudo,imposibles de resolver de forma analítica.
2) El uso eficiente de programas de métodos numéricos teniendo un buen entendimiento de la teoría básica en que
se basan tales métodos.
3) Si usted es conocedor de los métodos numéricos y es hábil de la programación, entonces tiene la capacidad de
diseñar sus propios programas.
4) Son un vehículo eficiente para aprender a servirse de las computadoras. Ademásson especialemnte adecuados
para ilustrar el poder y las límitaciones de las computadoras.
5) Son un medio para reforzar su comprensión de las matemáticas, ya que una de sus funciones es convertir las
matemáticas superiores en operaciones aritméticas básicas.
c) Las cifras significativas de un número son aquellas que pueden utilizarse en forma confiable. Se trata del número
de dígitos que seofrecen con certeza, más uno estimado.
d) La exactitud se refiere a qué tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero. La precisión se
refiere a qué tan cercanos se encuentran, unos de otros, diversos valores calculados o medidos.
e) El error verdadero es la diferencia entre el valor calculado y el valor verdadero.

Et = valor verdadero − valor aproximado
f)
Error relativofraccional verdadero =

2

error verdadero
valor verdadero

2.

Aproximaciones y errores de redondeo

3.6. Evalúe e−5 con el uso de dos métodos
e−x = 1 − x +

x3
x2
−
+ ···
2
3!

y

e−x =

1
=
ex

1
x3
x
+
+ ···
2
3!
2

1+x+

y compárelo con el valor verdadero de 6.737947 × 10−3 . Utilice 20 términos para evaluar cada serie y calcule los
errores relativosaproximado y verdadero como términos que se agregaran.
Solución:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
SUMA:

εt =

3.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
SUMA:

1.000000E+00
-5.000000E+00
1.250000E+01
-2.083333E+01
2.604167E+01
-2.604167E+01
2.170139E+01
-1.550099E+01
9.688120E+00
-5.382289E+00
2.691144E+00-1.223247E+00
5.096864E-01
-1.960332E-01
7.001187E-02
-2.333729E-02
7.292904E-03
-2.144972E-03
5.958255E-04
-1.567962E-04
6.706341E-03

1.000000E+00
5.000000E+00
1.250000E+01
2.083333E+01
2.604167E+01
2.604167E+01
2.170139E+01
1.550099E+01
9.688120E+00
5.382289E+00
2.691144E+00
1.223247E+00
5.096864E-01
1.960332E-01
7.001187E-02
2.333729E-02
7.292904E-03
2.144972E-035.958255E-04
1.567962E-04
1.484131E+02

1
= 6.737949E − 03
1.484131E + 02
6.737947 × 10−3 − 6.737949 × 10−03
εt =
= 0.00002
6.737947 × 10−3
FINAL

6.737947 × 10−3 − 6.706341 × 10−03
= 0.469
6.737947 × 10−3

La serie de Taylor

4.1. La expansión en serie de Maclauri para cos x es
cos x = 1 −

x2
x4
x6
x8
+
−
+
− ···
2
4!
6!
8!

Iniciando con el primer término cos x =1. agregue los términos uno a uno para estimar cos(π/3). Después de que
se agregue cada uno de los términos, calcule los errores relativos porcentuales exactos y aproximados. Use una
3

calculadora para determinar el valor exacto. Agregue términos hasta que el valor absoluto del error aproximado
se encuentre dentro de cierto criterior de error, considerando dos cifras significativas....