Guía de matemáticas 103 (funciones, porcentajes, interés simple y demás)

INVERSA DE UNA FUNCIÓN
Si tenemos la función f = { (1, 2), (2, 4), (3, −1), (4, −2) } Se nos puede ocurrir la idea
de invertir los pares ordenados y tratar de obtener así una nueva función.
Veamos que sucede:
g = { (2, 1), (4, 2), (−1, 3), (−2, 4) }
Hemos obtenido una nueva función,

sin embargo, esto no funciona siempre.

Tomemos ahora como f el conjunto: f = {(1, 2), (2, 4), (3, −1),(4, 2)}
Si invertimos los pares ordenados,

entonces, g será:
g = {(2, 1), (4, 2), (−1, 3), (2, 4)}

Que no es una función,
g(2) no está determinado de forma única;

es decir, g no cumple la condición de función porque

Existen dos pares ordenados en

g(x) , (2, 1) y (2, 4),
que tienen la misma primera coordenada y la segunda coordenada es distinta.
a) ¿Cuál es la diferencia entreestos dos ejemplos?
Sencillamente, que en el segundo ejemplo:
f(1) = f(4) = 2

y al invertir los pares ordenados,

g(2) no está determinado de forma única; con lo cual g no es una función.
En el primer ejemplo, para valores diferentes de la "x" se obtienen valores
diferentes de la "y".
Las funciones que se comportan como la del primer ejemplo se llaman funciones
inyéctivas o funciones unoa uno.
DEFINICIÓN:
Una función f es inyéctiva o función uno a uno si se cumple cualquiera de estas dos
afirmaciones:
a) Si a ≠ b y tenemos que f(a) ≠ f(b) esto es que f(a) es distinto de f(b) cuando a es
distinto de b.(es decir que valores distintos del dominio obtienen imágenes
diferentes en el rango):
b) Si ocurre f(a) = f(b), entonces a = b
Cuando al invertir los pares ordenados de queconsta una función se obtiene otra
función, decimos que dicha función tiene inversa.
Ejemplo1

Solamente las funciones inyéctivas tienen función inversa
Una función que no sea inyéctiva la podemos convertir en inyéctiva si restringimos
su dominio y eceptuamos la parte
PRUEBA DE LA RECTA HORIZONTAL: Si tenemos la gráfica de una función y
por algún punto podemos trazar una recta horizontalque toque más de un punto
de la grafica, entonces la función no es inyéctivas.
si solamente puede tocar en un solo punto de la gráfica es porque la función es
inyéctivas

Ejemplo 2:

La función inversa de f la denotamos por ‫ି ܨ‬ଵ (‫, )ݔ‬

el

-1

aquí no es un

exponente,
No debemos confundir dicha notación, por lo que ‫ି ܨ‬ଵ (‫≠ )ݔ‬

ଵ

ி(௫)

DEFINICIÓN:
Si f es unafunción inyéctiva, llamamos función inversa de f y la representamos por f−1
al conjunto: f−1 = {(a, b) / (b, a) ߳ f (x)}
Es decir, f−1 = {(x, y) / x = f(y),

si y es del dominio de f } = { (f(y), y) / si y es del

dom. de f }
Utilizando la composición de funciones podemos escribir:
(f o f−1)(x) = f (f-1(x)) = x,

si x está en el rango de f.

Está afirmación expresar que la funcióncompuesta de una función y su función inversa
da x como resultado.
(f-1 o f)(x) = f-1(f(x)) = x ,

si x está en el dominio de f.

Está afirmación expresar que la función compuesta de la función inversa y su función da
x como resultado.
De la definición se sigue inmediatamente que el dominio de la función inversa f−1

es el rango de f.
Recíprocamente, el rango de f−1 es el dominio de f.También es fácil observar que:
f−1(a) = b
Utilizando la

es equivalente a decir que
"x" y la

f−1(x) = y

"y"

es equivalente a decir que

F(x) = x2 para todo x

f(b) = a.

f(x) = x2 para x ≥ 0

f(y) = x.

f(x) = √‫ ݔ‬para x ≥ 0

Para calcular la función inversa usaremos el método alternativo
Sugerencias para el cálculo de la función inversa
1) Se escribe la ecuación de lafunción y = f( x).
2) Se intercambian las variables.(la x se cambia por y, la y se cambia por x)
3) Se despeja la variable y en función de la variable x.
4) Y = f-1(x)
Ejemplos: Calcular la función inversa de las siguientes funciones que son uno a uno:
a)

el dominio de f son todos los números reales excepto el 1

1)

y=

ଶ௫ାଷ

Hacemos y = f(x),

௫ିଵ

2)

x=

ଶ௬ାଷ

3)...